Questão 30

FUVEST 2006

Matemática

(FUVEST - 2006 - 1 FASE ) Na figura abaixo, o triângulo ABC inscrito na circunferência tem AB = AC . O ângulo entre o lado AB e a altura do triângulo ABC em relação a BC é α . Nestas condições, o quociente entre a área do triângulo ABC e a área do círculo da figura é dado, em função de α , pela expressão:

$frac{2}{pi}cos^2 alpha$

$frac{2}{pi}sin^2 2alpha$

$frac{2}{pi}sin^2 2alpha cdot cos alpha$

$frac{2}{pi}sinalpha cdot cos 2alpha$

$frac{2}{pi}sin 2alpha cdot cos^2 alpha$

Gabarito:

$frac{2}{pi}sin 2alpha cdot cos^2 alpha$

Resolução:

Fiz esses prolongamentos em vermelho e assinalei os ângulos...

A questão nos pede a razão entre as áreas do triângulo e círculo, respectivamente.

Então ficamos com:

$frac{S_{ABC}}{S_{O}}=frac{frac{1}{2}cdot l^2cdot sen(2alpha )}{pi cdot R^2}$

Seria bom se encontrássemos o valor de $R$ em função de $l$ .

Fazendo semelhança encontramos:

$frac{h}{l}=frac{l}{2R}$

Daí vem:

$(i)R=frac{l^2}{2cdot h}$

E por trigonometria, vem:

$cos(alpha )=frac{h}{l}$

$(ii)h=lcdot cos(alpha )$

Substituindo $(ii)$ em $(i)$ , vem:

$R=frac{l^2}{2cdot lcdot cos(alpha )}$

$R=frac{l}{2cdot cos(alpha )}$

Substituindo esse valor na razão inicial, vem:

$frac{S_{ABC}}{S_{O}}=frac{frac{1}{2}cdot l^2cdot sen(2alpha )}{pi cdot frac{l^2}{2^2cdot cos^2(alpha )}}$

$frac{S_{ABC}}{S_{O}}=frac{2}{pi }cdot sen(2alpha )cdot cos^2(alpha )$

Questões relacionadas

Questão 26

(FUVEST - 2006 - 1 FASE ) Três números positivos, cuja soma é 30, estão em progressão aritmética. Somando-se, respectivamente, 4, - 4 e - 9 aos prim...

Ver questão

Questão 27

(FUVEST - 2006 - 1 FASE ) O conjunto dos pontos (x,y), do plano cartesiano que satisfazem t2 - t - 6 = 0, onde , consiste de

Ver questão

Questão 23

(FUVEST - 2006 - 1 FASE ) Um recenseamento revelou as seguintes características sobre a idade e a escolaridade da população de uma cidade. Escolaridade Jovens Mu...

Ver questão

Questão 31

(FUVEST - 2006 - 1 FASE ) Um cone circular reto está inscrito em um paralelepípedo reto retângulo, de base quadrada, como mostra a figura. A razão b/a entre as dimensõ...

Ver questão