Questão 3

FUVEST 2006

Matemática

(FUVEST - 2006) Uma função f satisfaz a identidade f(ax)=af(x) para todos os números reais a e x. Além disso, sabe-se que f(4)=2 . Considere ainda a função g(x)=f(x-1)+1 para todo o número real x.

a) Calcule g(3).

b) Determine f(x), para todo x real.

c) Resolva a equação g(x) = 8.

Gabarito:

Resolução:

$I) f(ax)=af(x), forall , a , epsilon , mathbb{R},forall x, epsilon , mathbb{R}$

$II) f(4)=2$

$III) g(x)=f(x-1)+1, forall , x, epsilon , mathbb{R}$

$a) 1)$ De (I) em (II) teremos:

$a=2$ e $x=2Rightarrow f(2.2)=2.f(2)Rightarrow f(4)=2f(2)=2Rightarrow f(2)=1$

$2)$ Em $III$ , $x=3Rightarrow g(3)=f(2)+1Rightarrow g(3)=2$

$b)$ Em $(I)$ , se $x=4Rightarrow f(4.a)=a.f(4)Rightarrow f(4a)=2a$ , logo:

$f(x)=frac{x}{2}$

$c)$ Em $III$ , $g(x)=frac{x-1}{2}+1=8Rightarrow x=15$

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