Questão 5

FUVEST 2006

Matemática

(FUVEST - 2006) Na figura abaixo, O é o centro da circunferência de raio 1, a reta AB é secante a ela, o ângulo β mede 60º e $sin alpha = frac{sqrt{3}}{4}$ .

a) Determine $sinmathrm{ Ohat{A}B}$ em função de AB.

b) Calcule AB.

Gabarito:

Resolução:

Sendo $alpha < 60^{circ}$ teremos:

$frac{AB}{senalpha }=frac{1}{senOwidehat{A}B}Leftrightarrow frac{AB}{frac{sqrt{3}}{4}}=frac{1}{senOwidehat{A}B}Leftrightarrow senOwidehat{A}B=frac{sqrt{3}}{4.AB}$

$b)$ No triângulo $OAB$ teremos:

$alpha +Owidehat{A}B=60^{circ}Leftrightarrow Owidehat{A}B=60^{circ}-alpha$

Como $senalpha =frac{sqrt{3}}{4}$ , teremos:

$(frac{sqrt{3}}{4})^{2}+cos^{2}alpha =1Rightarrow cosalpha =frac{sqrt{13}}{4}$ , pois $alpha$ é agudo.

Portanto:

$senOwidehat{A}B=frac{sqrt{3}}{4.AB}Leftrightarrow sen(60^{circ}-alpha )=frac{sqrt{3}}{4.AB}Leftrightarrow$

$Leftrightarrow sen60^{circ}cosalpha -senalpha cos60^{circ}=frac{sqrt{3}}{4.AB}Leftrightarrow$

$Leftrightarrow frac{sqrt{3}}{2}frac{sqrt{13}}{4}-frac{sqrt{3}}{4}frac{sqrt{1}}{2}=frac{sqrt{3}}{4.AB}$

$Leftrightarrow frac{sqrt{13}}{2}-frac{1}{2}=frac{1}{AB}Leftrightarrow AB=frac{2}{sqrt{13}-1}Leftrightarrow AB=frac{sqrt{13}+1}{6}$

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