Questão 6

FUVEST 2006

Matemática

(FUVEST - 2006) Um torneiro mecânico dispõe de uma peça de metal maciça na forma de um cone circular reto de 15 cm de altura e cuja base B tem raio 8 cm (Figura 1). Ele deverá furar o cone, a partir de sua base, usando uma broca, cujo eixo central coincide com o eixo do cone. A broca perfurará a peça até atravessá-la completamente, abrindo uma cavidade cilíndrica, de modo a obter-se o sólido da Figura 2. Se a área da base deste novo sólido é 2/3 da área de B , determine seu volume.

Gabarito:

Resolução:

Considerando como r o raio, em centímetros da cavidade cilíndrica e h a altura, em centímetros da cavidade, teremos:

$1)pi (8^{2}-r^{2})=frac{2}{3}.pi. 8^{2}Leftrightarrow 3(64-r^{2})=128Leftrightarrow r^{2}=frac{64}{3}Leftrightarrow r=frac{8}{sqrt{3}}$

$2)frac{r}{8}=frac{15-h}{15}$

Portanto, $frac{1}{sqrt{3}}=frac{15-h}{15}Leftrightarrow h=5(3-sqrt{3})cm$

$3)$ O volume $V$ da peça da figura 2, em centímetros cúbicos é dado por:

$V=frac{1}{3}.pi .8^{2}.15-frac{1}{3}.pi .r^{2}(15-h)-pi. r^{2}.h$ , dessa forma:

$V=320pi -frac{1}{3}.pi .frac{8^{2}}{3}.5sqrt{3}-pi .frac{8^{2}}{3}.5(3-sqrt{3})Leftrightarrow V=320pi -frac{320sqrt{3}pi }{9}-320pi +frac{320sqrt{3}pi }{3}Leftrightarrow V=frac{640sqrt{3}pi }{9}$

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