Questão 7

FUVEST 2006

Matemática

(FUVEST - 2006) No paralelogramo ABCD abaixo, tem-se que AD=3 e $mathrm{Dwidehat{A}B}=30^circ$ . Além disso, sabe-se que o ponto P pertence ao lado DC e à bissetriz do ângulo $mathrm{Dwidehat{A}B}$ .

a) Calcule AP.

b) Determine AB sabendo que a área do quadrilátero ABCP é 21.

Gabarito:

Resolução:

a) No triângulo isósceles DAP, pela lei dos cossenos:

$(AP)^{2}=3^{2}+3^{2}-2.3.3.cos150^{circ}Leftrightarrow (AP)^{2}=18+9sqrt{3}Leftrightarrow AP=sqrt{18+9sqrt{3}}Leftrightarrow AP=3sqrt{2+sqrt{3}}$

b) A área do paralelogramo $ABCD$ será igual a soma da área do quadrilátero $ABCP$ com a área do triângulo $APD$ . Portanto:

$2.frac{AB.AD.sen30^{circ}}{2}=frac{AD.DP.sen150^{circ}}{2}+21Leftrightarrow frac{3.AB}{2}=frac{9}{4}+21$

$Leftrightarrow 6.AB=93Leftrightarrow AB=frac{93}{6}Leftrightarrow AB=frac{31}{2}$

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