Questão 8

FUVEST 2006

Matemática

(FUVEST - 2006) Determine os números complexos z que satisfazem, simultaneamente, $|z|=2$ e $mathrm{Im}left ( frac{z-i}{1+i} ight )=frac{1}{2}$

Lembretes: i²=-1; se w=a+bi , com a e b reais, então $left |w ight |=sqrt{a^2+b^2}$ e $mathrm{Im}(w)=b$

Gabarito:

Resolução:

Sendo $z=a+bi$ , com $a$ e $b$ reais, logo:

$1) mid z mid =2Leftrightarrow a^{2}+b^{2}=4$

$2)$

$frac{z-i}{1+i}=frac{(a+bi-1)(1-i)}{(1+i)(1-i)}=frac{a-ai+bi+b-i-1}{2}$

$=frac{a+b-1}{2}+frac{-a+b-1}{2}i$

$3) Im(frac{z-i}{1+i})=frac{-a+b-1}{2}=frac{1}{2}Leftrightarrow -a+b-1=1$

$-a+b=2Leftrightarrow b=a+2$

$4) left{egin{matrix} a^{2}+b^{2}=4\ b=a+2 end{matrix} ight.$

$Leftrightarrow a^{2}+(a+2)^{2}=4Leftrightarrow a^{2}+2a=0$

$a=0$ ou $a=-2$

$5) a=0 Rightarrow b=2Rightarrow z=2i$

$a=-2Rightarrow b=0Rightarrow z=-2$

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