Questão 10

FUVEST 2006

Matemática

(FUVEST - 2006)

a) Determine os pontos A e B do plano cartesiano nos quais os gráficos de $y=frac{12}{x}-1$ e $x+y-6=0$ se interceptam.

b) Sendo O a origem, determine o ponto C no quarto quadrante que satisfaz $mathrm{Ahat{O}B=Ahat{C}B}$ e que pertence à reta x=2.

Gabarito:

Resolução:

$a) left{egin{matrix} y=frac{12}{x}-1\ x+y-6=0 end{matrix} ight.Leftrightarrow left{egin{matrix} y=frac{12}{x}-1\ x+frac{12}{x}-1-6=0 end{matrix} ight.Leftrightarrow$

$Leftrightarrow left{egin{matrix} y=frac{12}{x}-1\ x^{2}-7x+12=0 end{matrix} ight.Leftrightarrow left{egin{matrix} x=4\ y=2 end{matrix} ight.$ ou $left{egin{matrix} x=3\ y=3 end{matrix} ight.$

Portanto, os gráficos 1 se interceptam nos pontos A(4,2) e B(3;3)

$b)$

$1^{circ})$ Considerando $m_{OB}=1$ e $m_{AB}=-1$ , observamos que o triângulo $OAB$ é retângulo em $B$ e, portanto, o centro $P$ da circunferência que passa pelos pontos $O,A$ e $B$ será o ponto médio de $OA$ , isto é, $P(2;1).$

$2^{circ})$ Sendo $Awidehat{O}B=Awidehat{C}B$ e o ponto C pertencente à reta $x=2$ , concluimos que esse ponto pertence à circunferência que passa pelos pontos O,A e B, e que o ponto C é o ponto de menor ordena da circunferência, resultando $C(2;1-sqrt{5})$

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