Questão 5

FUVEST 2011

Matemática

(FUVEST - 2011)

As raízes da equação do terceiro grau

x³ - 14x² + kx - 64 = 0

São todas reais e formam uma progressão geométrica. Determine

a) as raízes da equação;

b) o valor de k.

Gabarito:

Resolução:

As raízes são $left{r_1, r_2, r_3 ight} = left{frac{x}{q}, x, xcdot q ight}$

Usando soma e produto das raízes de um polinômio de terceiro grau, respectivamente $frac{-b}{a}$ , $frac{-d}{a}$ :

O produto das raízes é $x^3 = -frac{(-64)}{1}$ .

Logo x = 4.

A soma das raízes é $4(frac{1}{q} + 1 + q) = frac{4}{q}(1 + q + q^2)$ .

Mas a soma das raízes também é: $-frac{-14}{1} = 14$ .

Encontrando a razão de progressão q:

$\14q = 4 + 4q +4q^2 Rightarrow \\ 0 = 4q^2 -10q + 4.$

Então há dois valore possíveis para a razão $q = 2$ ou $q = 0,5$ .

Usando q = 2 encontramos as raízes: $left{2 , 4, 8 ight}$ , PG crescente.

Usando q = 0,5 encontramos as raízes: $left{8, 4, 2 ight}$ , PG decrescente.

Então as raízes são 2, 4 e 8.

b. Para encontrar o valor de k basta substituir uma das raízes encontradas na equação dada.

Substituindo x = 4:

$\4^3 -14(4)^2 +4k -64=0 Rightarrow \\ 4k = 14(4)^2 Rightarrow k = 56.$

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