Questão 44346

FUVEST 2011

Matemática

(FUVEST - 2011) No plano cartesiano 0xy, considera a parábola P de equação y = -4x² + 8x + 12 e a reta r da equação y = 3x + 6. Determine:

a) Os pontos A e B, de intersecção da parábola P com o eixo coordenado 0x, bem como o vértice V da parábola P.

b) O ponto C, da abscissa positiva, que pertence à intersecção de P com a reta r.

c) A área do quadrilátero de vértices A, B, C e V.

Gabarito:

Resolução:

Item a:

Os pontos A e B de intersecção da parábola P com o eixo Ox têm abscissas que são raízes da equação $-4x^{2} + 8x + 12 = 0$ . Dessa forma:

$-4x^{2} + 8x + 12 = 0$ $Leftrightarrow$ $x^{2}-2x-3=0$ $Leftrightarrow x=-1$ ou $x=3$ , temos $y=0$

Pelos pontos A(– 1; 0) e B(3; 0), o vértice da parábola tem abcissa:

$x_{v}=frac{-(+8)}{2.(-4)}=1$ e ordenada $y=-4.1^{2}+8.1+12=16$

Assim $V(1,16)$

Os pontos de intersecção da parábola com a reta têm coordenadas que são soluções do sistema

Sistema I: $y=-4x^{2}+8x+12$

Sistema II: $y=3x+6$

$-4x^{2}+8x+12=3x+6$

$4x^{2}-5x-6=0$

$x=2$ e $y=12$

ou de $y=3x+6$

$x=frac{-3}{4}$ e $y=frac{15}{4}$

O ponto C de abcissa positiva, intersecção da parábola com a reta é C(2;12)

A área S, do quadrilátero convexo ABCV, é a soma das áreas dos triângulos AVM e CNB com a do trapézio MVCN da figura acima. Assim, em unidades de área, temos:

$S_{AVM}=frac{2.16}{2}=16$

$S_{CNB}=frac{1.12}{2}=6$

$S_{MVCN}=frac{(12+16).1}{2}=14$

$S_{MVCN}=S_{AVM}+S_{CNB}+S_{MVCN}=16+6+14=36$

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