Questão 25

FUVEST 2011

Matemática

(FUVEST - 2011) Sejam x e y números reais positivos tais que x + y = π/2 . Sabendo-se que sen(y - x) = 1/3, o valor de tg ²y - tg²x é igual

3/2

5/4

1/2

1/4

1/8

Gabarito:

3/2

Resolução:

Como x e y são ângulos complementares temos que: $seny=cosx$ e $senx=cosy$ . De $sen(y-x)=frac{1}{3}$ sabemos:

$sen(y-x)=seny.cosx-senx.cosy=frac{1}{3}$

$cos^{2}x-sen^{2}x=frac{1}{3}$

$1-sen^{2}x-sen^{2}x=frac{1}{3}$

$sen^{2}x=frac{1}{3}$ e $cos^{2}x=frac{2}{3}$

$tg^{2}y-tg^{2}x=frac{sen^{2}y}{cos^{2}y}-frac{sen^{2}x}{cos^{2}x}$

$tg^{2}y-tg^{2}x=frac{sen^{2}x}{cos^{2}x}-frac{sen^{2}y}{cos^{2}y}$

$tg^{2}y-tg^{2}x=2-frac{1}{2}=frac{3}{2}$

Resposta A

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