Questão 2

FUVEST 2011

Matemática

(FUVEST 2011)

Na figura abaixo, o cubo de vértices A, B, C, D, E, F, G, H tem lado l . Os pontos M e N são pontos médios das arestas AB e BC, respectivamente. Calcule a área da superfície do tronco de pirâmide de vértices M, B, N, E, F, G.

Gabarito:

Resolução:

A área solicitada pelo exercício é igual à soma das áreas dos polígonos BMN, EFG, BMEF, BNGF e MNGE. Dessa forma, teremos a área $BMN=frac{frac{l}{2}frac{l}{2}}{2}=frac{l^{2}}{8}$

$EFG=frac{l.l}{2}=frac{l^{2}}{2}$ e área e área BMEF= área $BNGF=frac{(frac{l}{2}+l).l}{2}=frac{3l^{2}}{4}$

O quadrilátero $MNGE$ é um trapézio de lados paralelos

$EG=lsqrt{2}$ e $MN=frac{lsqrt{2}}{2}$ e lados não paralelos $EM=GN=sqrt{l^{2}+frac{l}{2}^{2}}=frac{lsqrt{5}}{2}$

Sendo h a altura do trapézio, $h^{2}+(frac{lsqrt{2}}{4})^{2}=(frac{lsqrt{5}}{2})^{2}Leftrightarrow h=frac{3sqrt{2}.l}{4}$

A área $MNGE=frac{(frac{lsqrt{2}}{2}+lsqrt{2})frac{3sqrt{2}}{4}.l}{2}=frac{9l^{2}}{8}$ e a área da superfície do tronco será de:

$frac{l^{2}}{8}+frac{l^{2}}{2}+2.3frac{l^{2}}{4}+9frac{l^{2}}{8}=frac{13l^{2}}{4}$

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