Questão 47426

FUVEST 2011

Matemática

(FUVEST - 2011 - 2 fase)

a) Sendo ݅ a unidade imaginária, determine as partes real e imaginária do número complexo

$z_{0}=frac{1}{1+i}-frac{1}{2i}+i$

b) Determine um polinômio de grau 2, com coeficientes inteiros, que tenha z₀ como raiz.

c) Determine os números complexos w tais que z₀.w tenha módulo igual a $5sqrt2$ e tais que as partes real e imaginária de z₀.w sejam iguais.

d) No plano complexo, determine o número complexo z₁ que é o simétrico de z₀ com relação à reta de equação y-x=0.

Gabarito:

Resolução:

a) Sabemos que $frac{1}{1+i}=frac{1}{1+i}.frac{1-i}{1-i}=frac{1-i}{2}$ podemos estabelecer a seguinte relação para resolução:

$-frac{1}{2i}=frac{-1}{2i}.frac{i}{i}=frac{i}{2}$

Portanto $Z_{0}=frac{1}{1+i}-frac{1}{2i}+i=frac{1-i}{2}+frac{i}{2}+i=frac{1}{2}+i$ , a parte imaginária é 1 e a parte real $frac{1}{2}$

b) Buscamos por um polinômio de grau 2 com coneficientes inteiros e portanto reais, onde $Z_{0}$ é raíz e a outra raíz $overline{overline{Z_{0}}}=frac{1}{2}-i$ . O polinômio pedido tem a seguinte forma:

$P(x)=a(x-frac{1}{2}-i)(x-frac{1}{2}+i)$ com a constante a não nula.

$P(x)=a(x^{2}-x+frac{5}{4})$

Conseguimos coeficientes inteiros desde que a seja múltiplo de 4. Assim, o polinômio será:

$P(x)=4(x^{2}-x+frac{5}{4})$

$P(x)=4x^{2}-4x+5$

Sendo $mid Z_{0}.Wmid =5sqrt{2}$ e $Z_{0}.W=a+ai$ , com $aepsilon mathbb{R}$ , teremos que:

$sqrt{a^{2}+a^{2}}=5sqrt{2}$

$2a^{2}=25.2 herefore a=5$ ou $a=-5$

Logo:

$Z_{0}.w=5+5i$

$Z_{0}.w=-5-5i$

Da primeira equação teremos:

$Z_{0}.w=5+5iRightarrow (frac{1}{2}+i)w=5+5i$

$w=frac{5+5i}{frac{1}{2}+i}$

Efetuando a divisão teremos que:

$w=6-2i$

Para a segunda equação, vamos ter:

$Z_{0}.w=-5-5i$

$(frac{1}{2}+i)w=-1(5+5i)$ , isolando w teremos: $w=-6+2i$

Portanto, os números complexos são $6-2i$ e $-6+2i$

Os afixos de $Z_{0}$ e $Z_{1}$ são simétricos em relação à reta da equação $y-x=0$ (reta suporte das bissetrizes do 1º e 3º quadrante), temos que

A parte real de $Z_{1}$ é igual à parte imaginária de $Z_{0}$ e a parte imaginária de $Z_{1}$ é igual à parte real de $Z_{0}$ . Dessa forma, $Z_{1}=1+frac{1}{2}i$

Questão 47426

FUVEST 2011

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