Questão 3

FUVEST 2023

Matemática

(FUVEST - 2023)

Considerando $A= left {1,2,3,4 ight }$ e $B= left {1,2,3,4,5,6 ight }$ ,

a) quantas funções $f: A ightarrow A$ (não necessariamente sobrejetoras) existem?

b) quantas são as funções $f: B ightarrow B$ que satisfazem $f(f(n))=n$ , para todo $n epsilon B$ ?

c) escolhendo aleatoriamente uma função $f: B ightarrow B$ bijetora, qual é a probabilidade de $f$ ter ao menos um ponto fixo?

Note e adote: Dizemos que $n epsilon B$ é um ponto fixo de $f$ se $f(n)=n$ .

Gabarito:

Resolução:

A) Como temos de $f: A ightarrow A$ , então:

DOMÍNIO	CONTRADOMÍNIO
1	1
2	2
3	3
4	4

Podemos perceber que cada elemento do domínio pode ter 4 imagens como possibilidade, veja, por exemplo:

(1,1); (1,2); (1,3); (1,4) Portanto, teremos:

$4.4.4.4 = 4^{4} = 256$

Portanto, teremos 256 funções existentes.

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B) Temos que $f(f(n)) = n para todo n varepsilon B$

$F(n) = n ightarrow f(m) = n$

Vamos analisar as possivilidades:

1ª Possibilidade: m = n

f(n) = n

(1,1); (2,2); (3,3); (4,4); (5,5); (6,6) - 1 função

2ª Possibilidade:

Temos (1,4); (4,1); (2,3), (3,2), (5,6); (6,5) por exemplo

Podemos perceber que são combinações:

$frac{C(6,2) . C(4,2) . C(2,2)}{3!}$

$frac{15 . 6 . 1}{3!} = 15$ funções.

3ª Possibilidade: Podemos ter: (1,1), (2,2), (3,3), (4,4) (5,6) , (6,5)

Temos o ponto fixo: (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), o qual podemos demostrar como:

$C(6,4)$

E (5,6) , (6,5) é uma combinação de 2,2

Portanto:

$C(6,4). C(2,2) = 15 . 1 = 15$ funções

4ª Possibilidade: Podemos ter nessa possibilidade, por exemplo: (5,5); (6,6); (2,3); (3,2); (1,4); (4,1)

(2,3); (3,2);Duplas de pares ordenados, então temos combinação de 4,2

(1,4); (4,1) - Duplas de pares ordenados, então temos combinação de 2,2

(5,5); (6,6); - Temos aqui ponto fixo. então: Combinação de 6,2

$C(6,2) = frac{6!}{2!4!} = 15$

Portanto, temos:

$C(6,2) . frac{C(4,2).C(2,2)}{2!} = 15 . 3 = 45$

Por fim temos que somando as possibilidades:

1 + 15 + 15 + 45 = 76 funções

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C) Podemos pensar em o que eu quero = Total - o que eu não quero

O que eu quero: Ter ao menos um ponto fixo
O que eu não quero: Não ter ponto ponto fixo

Podemos pensar na permutação caótica (a1, a2, a3 ... an ) é uma permutação caótica se ai é diferente de i, para i 1 maior e igual a 1 e menor e igual a n : $1 leq i leq n$

Por exemplo:

(1,2,3) e (2,3,1) são caóticas, mas (1,3,2) não é, pois o número 1 ficou na mesma posição.

Temos que: $f: I_{n} ightarrow I_{n} tal que f(i) = a_{i}$ não possui pontos fixos.

$f(1) eq 1 \ \ f(2) eq 2$

E assim sucessivamente.

Com isso temos que o total de funções bijetoras será:

O número:

1 tem 6 possibilidades

2 tem 5 possibilidades

3 tem 4 possibilidades

4 tem 3 possibilidades

5 tem 2 possibilidades

6 tem 1 possibilidades

Total = 6.5.4.3.2.1 = 720 funções

Mas eu não quero que tenha pontos fixos, então:

Permutação caótica - Desarranjo (f(i) é diferente de ai)

$D_{n} = n! . [frac{1}{0!} - frac{1}{1!}+ frac{1}{2!} - ... + frac{(-1)^{n}}{n!}]$

$D_{6} = 6! . [frac{1}{0!} - frac{1}{1!}+ frac{1}{2!} - frac{1}{3!} + frac{1}{4!} - frac{1}{5!} + frac{1}{6!}]$

$D_{6} = 720. [ frac{1}{2} - frac{1}{6} + frac{1}{24} - frac{1}{120} + frac{1}{720}] = 265$

Portanto, temos 265 funções que não possuem pontos fixos

O que eu quero: A função possuir ao menor um ponto fixo:

720 - 265 = 455

Portanto:

$P = frac{Casos favoraveis}{casos possiveis} = frac{455}{720 } = frac{91}{44}$

Questão 3

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