Questão 66734

IME 2006

Matemática

(IME - 2006/2007 - 2 FASE)
O quadrilátero BRAS, de coordenadas A(1,0), B(-2,0), $R(x_1,y_1)$ e $S(x_2,y_2)$ é construído tal que $Rhat{A}S = Rhat{B}S = 90^{circ}$ . Sabendo que o ponto R pertence à reta t de equação y=x+1, determine a equação algébrica do lugar geométrico descrito pelo ponto S ao se deslocar R sobre t.

Gabarito:

Resolução:

1) Como o ponto R pertence à reta $y=x+1$ , podemos parametrizá-lo como $Requiv (a,a+1)$ . Temos também o ponto $Sequiv (x,y)$ :

2) Vamos analisar os coeficientes lineares das retas:

i) $m_{RA}=-frac{a+1}{1-a}$

ii) $m_{SA}=frac{-y}{1-x}$

iii) $m_{BS}=-frac{-y}{x+2}$

iv) $m_{BR}=frac{a+1}{a+2}$

Notamos que as retas RA e SA são perpendiculares, assim como as retas BS e BR. Logo:

• $m_{RA} cdot m_{SA}=-1$

$frac{a+1}{a-1} cdot frac{y}{x-1}=-1$ (1)

• $m_{BS} cdot m_{BR}=-1$

$frac{y}{x+2} cdot frac{a+1}{a+2}=-1$ (2)

Dividindo uma equação pela outra:

$frac{a-1}{a+2}cdot frac{x-1}{x+2}=1$

$ax-a-x+1=ax+2a+2x+4$

$3a+3x+3=0$

$a=-x-1$ (3)

Trabalhando com a equação (1):

$frac{a+1}{a-1} cdot frac{y}{x-1}=-1$

$ay+y=-ax+a+x-1$

$a(x+y-1)=x-1-y$

$a=frac{x-1-y}{x+y-1}$ (4)

Igualando (3) e (4):

$a=frac{x-1-y}{x+y-1}=-x-1$

$x-1-y=-x^2-x-xy-y+x+1$

$x-1=-x^2-xy+1$

$x^2+xy+x=2$ ⇒ hipérbole

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