Questão 3

IME 2009

Matemática

(IME - 2009/2010) Considere as hipérboles que passam pelos pontos (–4, 2)e (–1, –1) e apresentam diretriz na reta y = –4. Determine a equação do lugar geométrico formado pelos focos dessas hipérboles, associados a esta diretriz, e represente o mesmo no plano cartesiano.

Gabarito:

Resolução:

A questão não se trata de uma hipérbole, mas sim de todas as hipérboles que passam pelos pontos (-4, 2) e (-1, -1) com diretriz y=-4. Os focos de todas essas hiperboles podem ser definidos por uma equação, e é esta equação que a questão quer que você encontre.

Como todas estas hipérboles tem em comum os pontos (-4, 2) e (-1, -1), e a mesma diretriz, podemos aplicar a propriedade da hipérbole de que a distância de qualquer ponto ao foco é igual ao produto entre a excentricidade e a distância entre o ponto e a diretriz para achar uma relação entre os focos da hipérbole.

Sendo os pontos P = (-4, 2) e Q = (-1, -1) e os focos dessas hipérboles um ponto F = (x, y) qualquer.

$D_{PF}=ecdot D_{Pd}$
$D_{QF}=ecdot D_{Qd}$

Calculando as distâncias

$D_{PF}=sqrt{(-4-x)^2 + (2-y)^2}$
$D_{QF}=sqrt{(-1-x)^2 + (-1-y)^2}$
$D_{Pd}$ é simplesmente a distância do ponto P até a reta y=-4, que é a distância entre seus pontos y, 2-(-4)=6
$D_{Qd}$ é simplesmente a distância do ponto P até a reta y=-4, que é a distância entre seus pontos y, -1-(-4)=3

Assim, chegamos em:

$sqrt{(-4-x)^2 + (2-y)^2}=6e$
$sqrt{(-1-x)^2 + (-1-y)^2}=3e$

Como 6e = 2(3e):

$sqrt{(-4-x)^2 + (2-y)^2}=2sqrt{(-1-x)^2 + (-1-y)^2}$

$(-4-x)^2 + (2-y)^2=4((-1-x)^2 + (-1-y)^2)$

Abrindo-se os expoentes e desenvolvendo a conta:

$16 +8x + x^2 + 4 - 4y + y^2 = 4 + 8x + 4x^2 +4+8y +4y^2$

$3x^2+3y^2+12y-12=0$

$x^2+y^2+4y-4=0$

Completando o quadrado:

$x^2+y^2+4y+4-4=0+4$

$x^2+(y+2)^2-4=0+4$

$x^2+(y+2)^2=8$

Aqui, já podemos ver que os focos destas hipérboles formam a equação de uma circunferência de raio $2sqrt{2}$ e centro (0, -2).

Porém, devemos lembrar de algumas regras sobre a hipérbole para deixar esta equação mais completa. Na hipérbole, a excentridade é sempre maior do que 1, e o seu foco não pode existir na diretriz, neste caso, na reta y=-4.

Analisando a excentricidade:

$sqrt{(-4-x)^2 + (2-y)^2}=6e Rightarrow e > 1$
$sqrt{(-4-x)^2 + (2-y)^2}>6$
$(-4-x)^2 + (2-y)^2>36 Rightarrow (x+4)^2 + (y-2)^2 > 36$

$sqrt{(-1-x)^2 + (-1-y)^2}=3e Rightarrow e>1$
$(-1-x)^2 + (-1-y)^2>9 Rightarrow (x+1)^2 + (y+1)^2 > 9$

Neste ponto, poderiamos encontrar o ponto de intercessão entre as equações de circunferência das inequações encontradas e a equação dos focos, também é possível traçar os gráficos das inequações para encontrar o que queremos. Lembrando que numa inequação de circunferência do tipo x² + y² > r², o intervalo solução é a superfície EXTERNA à equação x² + y² = r². Representando graficamente:

O que queremos é a curva externa às circunferências azul e verde, mas pertencentes a vermelha, abertas nas interseções.

E como o foco não deve pertencer à diretriz, a curva também deve ser aberta em y=-4

O resultado final é a equação dos focos x²+(y+2)²=8, tal que:

$(x+1)^2 + (y+1)^2 > 9$
$(x+4)^2 + (y-2)^2 > 36$
$y eq 4$

Representando no plano:

Questão 3

IME 2009

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