Questão 41833

IME 2009

Matemática

(IME - 2009/2010 - Adaptada) Seja o polinômio $p(x) = x^3+(ln a)x+e^b$ , onde $a$ e $b$ são números reais positivos diferentes de zero. Determine uma expressão para a soma dos cubos das raízes desse polinômio.

Gabarito:

Resolução:

Veja que se trata de um polinômio do terceiro grau, portanto possui 3 raízes possivelmente complexas,

${x_1, x_2, x_3}$

e claro, como são raízes devem satisfazer:

$egin{cases} x_1^3+(ln a)x_1+e^b=0\ x_2^3+(ln a)x_2+e^b=0\ x_3^3+(ln a)x_3+e^b=0 end{cases}$

somando agora estas equações chegamos a

$x_1^3+x_2^3+x_3^3+(ln a)(x_1+x_2+x_3)+3e^b=0$

mas pela relação de Girard:

$x_1+x_2+x_3=0$

pois o termo de x² do polinômio é 0. Sendo assim obtemos a soma pedida:

$x_1^3+x_2^3+x_3^3=-3e^b$

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