Questão 5

IME 2009

Matemática

(IME - 2009/2010)

QUESTÃO ANULADA

Considere o sistema:

$left{egin{matrix} xy &+x &-y & =5 & \ x^{3}y &-x^{2}y^{3} &-2x^{2}y &+2xy^{2} & = 6 end{matrix} ight.$

Onde x e y são números inteiros.

O valor de $x^{3} + y^{2} + x^{2} + y$ é:

a) 14

b) 18

c) 20

d) 32

e) 38

Próxima questão.

Assinale a alternativa A.

Gabarito:

Próxima questão.

Resolução:

$left{egin{matrix} & xy +x-y =5 \ & x^{3}y^{2} - x^{2}y^{3} - 2x^{2}y + 2xy^{2} =6 end{matrix} ight.$

$Rightarrow x -y = 5 -xy$

$xy = u$

$Rightarrow$

$xy (x^{2}y-xy^{2}-2x+2y)$

$(xy)(xy (x-y)+-2 (x-y)) =6$

$xy(xy-2) (x-y) =6$

$herefore u (u-2)(5-u) = 6$

por tentativa e erro u = 3

$herefore x - y = 2 , y = frac{3}{x} Rightarrow x^{2} -2x-3 = 0$

$herefore x = -1 , y = -3$

$x = 3, y= 1$

1) $x^{3}+y^{2}+x^{2}+y = -1+9+1-3 = 6$

2) $x^{3}+y^{2}+x^{2}+y = 27+1+9+1=38$

Alternativa correta letra E

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