Questão 6

IME 2009

Matemática

(IME - 2009/2010) Seja $S = 1^{2} + 3^{2} +5^{2} + 7^{2} + cdots + 79^{2}$ . O valor de S satisfaz:

$S < 7 cdot 10^{4}$

$7 cdot 10^{4} leq S < 8 cdot 10^{4}$

$8 cdot 10^{4} leq S < 9 cdot 10^{4}$

$9 cdot 10^{4} leq S < 10^{5}$

$S geq 10^{5}$

Gabarito:

$8 cdot 10^{4} leq S < 9 cdot 10^{4}$

Resolução:

1²+ 2² + 3² + ... + n² = A

A soma A representa a soma dos n primeiros de uma PA de ordem superior:

1, 4, 9, 16, 25, 36, ..., n²: trata-se um uma PA de 2^a ordem!! A soma dos termos dessa PA é dada por um polinômio de grau 3 e termo independente nulo

$S_n=an^3+bn^2+cn$

Para n =1:

$\1 = acdot 1^3+bcdot 1^2+ccdot 1\\1=a+b+c$

Para n = 2:

$\1+ 2^2 = 8a+4b+2c;;;;\\8a+4b+2c=5$

Para n =3

$\1+ 2^2+3^2 = 27a+9b+3c;;;;\\27a+9b+3c=14$

Manipulando as equações, encontramos que:

$S_n=frac{2n^3+3n^2+n}{6}$ (decorar essa expressão pode ser muito útil, para a turma ITA/IME)

Agora, note que na soma S não temos os quadrados dos números pares, então vamos adicionar e retirar esses para tentar nos aproximar de algo semelhante à expressão encontrada acima:

$\S= 1^2+3^2+5^2+...+79^2\\S=1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+...+79^2-(2^2+4^2+6^2+...+78^2)\\S=1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+...+79^2-(4+16+36+64+...+78^2)\\S={color{Red} 1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+...+79^2}-[({color{Blue} 4(1+4+9+...+39^2)}]$

Na primeira parte (em vermelho) podemos usar a fórmula encontrada, nesse caso, n = 79. E, na segunda parte (em azul), também podemos usar a fórmula encontrada (para n = 39):

$\S=frac{2cdot (79)^3+3cdot (79)^2+79}{6}-4cdot (frac{2cdot (39)^3+3cdot (39)^2+39}{6})\\\S=frac{79(2cdot 6241+3cdot 79+1)}{6}-4cdot (frac{39(2cdot 1521+3cdot 39+1}{6})\\S=167:480-82:160=85:320$

O único intervalo que contém o valor numérico encontrado acima é o intervalo da alternativa (c)

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