Questão 9

IME 2009

Matemática

(IME - 2009/2010) Uma hipérbole de excentricidade $sqrt{2}$ tem centro na origem e passa pelo ponto $(sqrt{5},1 )$ . A equação de uma reta tangente a esta hipérbole e paralela a y = 2x é:

$sqrt{3}y = 2sqrt{3}x + 6$

$y = -2x + 3sqrt{3}$

$3y = 6x + 2sqrt{3}$

$sqrt{3}y = 2sqrt{3} x + 4$

$y = 2x + sqrt{3}$

Gabarito:

$sqrt{3}y = 2sqrt{3}x + 6$

Resolução:

Sendo a equação de uma hipérbole com centro na origem: $frac{x^2}{a^2} -frac{y^2}{b^2} =1$

A excentricidade da hipérbole é dado por $e = frac{c}{a}$ , em que $c^2 = a^2 +b^2$ (1)

Assim do enunciado temos $asqrt{2} = c$

Substituindo esse valor de c na equação (1) temos:

$2a^2 = a^2 +b^2 Rightarrow b^2 = a^2$

Temos então uma hipérbole equilátera.

Como a reta que queremos é paralela à reta y = 2x então elas tem o mesmo coeficiente angular.

Então a equação da nossa reta será y = 2x +d.

Para encontrar o ponto de tangencia primeiro temos que encontrar o valor de a^2 e para isso vamos utilizar o ponto dado no enunciado.

$frac{5}{a^2} -frac{1}{a^2} =1 Rightarrow a^2 =4$

Assim a equação da hipérbole é $frac{x^2}{4} -frac{y^2}{4} =1$

Como a reta y = 2x +d é tangente à hipérbole então podemos substituir a equação da reta na equação da hipérbole.

$\x^2 -(2x +d)^2 =4 Rightarrow \\ x^2 -4x^2 -4dx -d^2 = 4 Rightarrow \\ -3x^2 -4dx -d^2-4 = 0 Rightarrow \\ 3x^2 +4dx +d^2+4 = 0$

Como é tangente o discriminante deve ser igual a 0.

$\16d^2 -12(d^2 +4) =0 Rightarrow \\ 4d^2 -48 =0 Rightarrow \\ d = pm2sqrt3$

Assim temos duas equações possíveis para a reta:

$\y = 2x + 2sqrt3 \\ y = 2x -2sqrt3$

Multiplicando a primeira equação por $\sqrt3$ encontramos a equação escrita na alternativa A.

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