Questão 5

IME 2009

Matemática

(IME - 2009/2010) A área da superfície lateral de uma pirâmide quadrangular regular SABCD é duas vezes maior do que a área de sua base ABCD. Nas faces SAD e SDC traçam-se as medianas AQ e DP. Calcule o ângulo entre estas medianas.

Gabarito:

Resolução:

Suponha que o lado da base seja a e que a altura da pirâmide seja h (entre S e o incentro de ABCD). Então, pode-se calcular a geratriz, ou seja, o lado do triângulo das faces laterais (são triângulos isósceles), por Pitágoras:

$d_{ABCD}=asqrt{2}$ , sendo $d_{ABCD}$ a diagonal de ABCD, então $h^2+left(frac{d_{ABCD}}{2} ight )^2=g^2Rightarrow g=sqrt{h^2+frac{a^2}{2}}=frac{sqrt{2left(2h^2+a^2 ight )}}{2}$ .

Agora peguemos uma face lateral. O triângulo é isósceles com lados laterais iguais a g e base igual a a. A área desse triângulo é dada pela altura dele vezes a base dividido por dois. Chamemos essa altura de h'. Por Pitágoras, podemos achar h':

$left(frac{a}{2} ight )^2+h^2=g^2=h^2+frac{a^2}{2}Rightarrow h=sqrt{h^2+frac{a^2}{4}}=frac{sqrt{4h^2+a^2}}{2}$ .

Agora a área desse triângulo é $S_{Delta,,lat.}=frac{acdot h}{2}=frac{a}{2}cdotfrac{sqrt{4h^2+a^2}}{2}=frac{asqrt{4h^2+a^2}}{4}$ .

Como são 4 desses triângulos compondo a área lateral, então:

$S_{lat.}=4cdot S_{Delta,,lat.}=acdotsqrt{4h^2+a^2}$

E a área da base é $S_{base}=a^2$ . Como, pelo enunciado, $S_{lat.}=2cdot S_{base}=2a^2$ , então podemos fazer:

$left(acdotsqrt{4h^2+a^2}=2a^2 ight )^2Rightarrow 4a^2h^2+a^4=4a^4Rightarrow 4a^2=a^2+4h^2Rightarrow$

$Rightarrow h=frac{sqrt{3}}{2}cdot a$

Assim, a geratriz é $g=frac{sqrt{2left(2h^2+a^2 ight )}}{2}=frac{sqrt{2left(2cdotleft(frac{3a^2}{4} ight )+a^2 ight )}}{2}=frac{sqrt{5}}{2}cdot a$ .

Agora observe a figura a seguir:

O ângulo que queremos é P'QA isto porque P' é um ponto em SC tal que QP' é paralelo a DP e, portanto, P'QA é o ângulo igual ao ângulo formado entre AQ e DP (que é pedido pelo enunciado).

Repare também que P' parte do ponto médio de SD e é paralelo à mediana DP do triângulo SDC, logo, QP' divide o segmento SP no meio. Portanto, SP' = P'P = (g/2)/2=g/4.

Como AQ é mediana de SAD, enão SQ é igual a g/2. Para obtermos o comprimento do lado AQ, observemos o triângulo SAQ. O lado SA é igual a g e SQ = g/2. Se tivermos o valor do ângulo ASQ (do vértice S), podemos fazer lei dos cossenos e obter AQ. Chamando o ângulo ASQ de $alpha$ e olhando para o triângulo SAD:

$senalpha=frac{frac{AD}{2}}{SA}=frac{frac{a}{2}}{g}=frac{a}{2g}=frac{a}{2cdotfrac{sqrt{5}}{2}cdot a}=frac{sqrt{5}}{5}$ , então o cosseno é $cosalpha = sqrt{1-sen^2alpha}=sqrt{1-frac{1}{5}}=frac{2sqrt{5}}{5}$ .

Fazendo lei dos cossenos em SAQ:

$AQ^2=frac{g^2}{4}+g^2-2cdot gcdotfrac{g}{2}cdot cosalpha=frac{5}{4}cdotfrac{5}{4}a^2-frac{5}{4}a^2cdot frac{2sqrt{5}}{5}=frac{5}{4}cdot a^2left(frac{5}{4}-frac{2sqrt{5}}{5} ight )Rightarrow$

$Rightarrow AQ=frac{a}{2}cdotsqrt{frac{25-8sqrt{5}}{4}}=frac{a}{4}sqrt{25-8sqrt{5}}$ .

Como QP' é base média do triângulo SDP, então QP' = DP/2. Mas quanto é DP? Observemos o triângulo SDC. Este é semelhante ao SAQ que acabamos de trabalhar. DP é semelhante à AQ, logo, DP = AQ:

$DP=frac{a}{4}sqrt{25-8sqrt{5}}$ . Daí,

$QP=frac{a}{8}sqrt{25-8sqrt{5}}$ .

Do triângulo AQP' só nos falta agora o comprimento de AP'. Este pode ser obtido observando o triângulo ASP' com AS = g, SP' = g/4 e ângulo ASP' (do vértice S) igual ao ângulo ASC. Para descobrirmos o ângulo ASC, que chamamos de $eta$ , podemos fazer seno no triângulo ASC:

$seneta=frac{frac{d_{ABCD}}{2}}{SA}=frac{asqrt{2}}{2cdot g}=frac{asqrt{2}}{2cdotfrac{sqrt{5}}{2}cdot a}=frac{sqrt{2}}{sqrt{5}}=frac{sqrt{10}}{5}$ , então $coseta=sqrt{1-left(frac{sqrt{10}}{5} ight )^2}=frac{sqrt{15}}{5}$ . Daí, olhando para ASP':

$Ap^2=SA^2+Sp^2-2cdot SAcdot Spcdot coseta=g^2+frac{g^2}{16}-2cdot gcdotfrac{g}{4}cdot frac{sqrt{15}}{5}Rightarrow$

$Rightarrow Ap^2=a^2cdot frac{5}{4}cdotleft(frac{17}{16}-frac{sqrt{15}}{10} ight )Rightarrow$

$Rightarrow AP=acdotsqrt{frac{85}{64}-frac{8sqrt{15}}{64}}=frac{a}{8}cdotsqrt{85-8sqrt{15}}$ .

Agora que possuimos todos os lados do triângulo AQP', podemos fazer lei dos cossenos para o ângulo P'QA (aqui chamado de $heta$ ):

$cos heta=frac{-Ap^2+Qp^2+AQ^2}{2cdot Qpcdot AQ}$ . Vamos por partes:

Numerador, $-Ap^2+Qp^2+AQ^2=frac{a^2}{64}cdotleft(85-8sqrt{15} ight )+frac{a^2}{64}left(25-8sqrt{5} ight )+frac{a^2}{16}left(25-8sqrt{5} ight )Rightarrow$

$Rightarrow left(frac{a^2}{64}cdotleft(85-8sqrt{15}+25-8sqrt{5}+100-32sqrt{5} ight ) ight )=frac{a^2}{64}cdotleft(210-8sqrt{5}cdotleft(sqrt{3}+5 ight ) ight )$

Denominador, $2cdot Qpcdot AQ=2cdot frac{a}{8}sqrt{25-8sqrt{5}}cdotfrac{a}{4}sqrt{25-8sqrt{5}}=frac{a^2}{16}left(25-8sqrt{5} ight )$ .

Então,

$cos heta=frac{1}{4}cdotleft(frac{210-8sqrt{15}-40sqrt{5}}{25-8sqrt{5}} ight )$

RESPOSTA: $2arcsensqrt{frac{5}{13}}=arccosfrac{3}{13}$ .

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