Questão 8

IME 2009

Matemática

(IME - 2009/2010) Seja a equação $P^{n} + 144 = q^{2}$ , onde n e q são números inteiros positivos e p é um número primo. Determine os possíveis valores de n, p e q.

Gabarito:

Resolução:

$P^{n} + 144 = q^{2}$

$P^n=q^2-12^2$

$P^n=(q+12)(q-12)$

⇒ $(q+12)$ é igual a 1 e P é divisor apenas de $(q-12)$ .

$q+12=1$

$q=-11$ → absurdo, esse caso não tem solução

⇒ $(q-12)$ é igual a 1 e P é divisor apenas de $(q+12)$ .

• $q-12=1$

$q=13$

• $P^n=(q+12)=25=5^2$

$P=5$ e $n=2$

⇒ P é divisor de $(q+12)$ e de $(q-12)$ .

$q+12=P^x$ e $q-12=P^y$ → $x+y=n$

$q=P^y+12=P^x-12$

$P^x-P^y=24$

→ $P=3$ e $n=4$

→ $P=2$ e $n=8$

Soluções possíveis: $(P,n,q)={ (5,2,13), (3,4,15), (2,8,20) }$ .

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