Questão 9

IME 2009

Matemática

(IME - 2009/2010) Seja o sistema $left{egin{matrix} tg(x)tg(y-z) =& a\ tg(y)tg(z-x) =&b \ tg(z)tg(x-y) =& c end{matrix} ight.$ onde $a,b,c,x,y,z in mathbb{R}$ . Determine as condições que a ,b e c devem satisfazer para que o sistema admita pelo menos uma solução.

Gabarito:

Resolução:

$left{egin{matrix} tg(x)tg(y-z) =& a\ tg(y)tg(z-x) =&b \ tg(z)tg(x-y) =& c end{matrix} ight.$ ⇒ $left{egin{matrix} tan(x)tan(y-z)=frac{tan(x)tan(y)-tan(x)tan(z)}{1-tan(y)tan(z)}=a\ tan(y)tan(z-x)=frac{tan(y)tan(z)-tan(y)tan(x)}{1-tan(z)tan(x)}=b \ tan(z)tan(x-y)=frac{tan(z)tan(x)-tan(z)tan(y)}{1-tan(x)tan(y)}=c end{matrix} ight.$

$left{egin{matrix} tan(x)tan(y)=u\ tan(y)tan(z)=v \ tan(z)tan(x)=w end{matrix} ight.$ , em que $u, v, w eq -1$ . Assim:

$left{egin{matrix} frac{u-w}{1-v}=a\ frac{v-u}{1-w}=b \ frac{w-v}{1-u}=c end{matrix} ight.$ ⇒ $left{egin{matrix} u-av+w=a \ -u+v+bw=b \ -cu-v+w=c end{matrix} ight.$

• Considerando $D eq 0$ , podemos utilizar a regra de Cramer:

$egin{vmatrix} 1 & -a & w\ -1& 1 &b \ -c & -1 & 1 end{vmatrix}=a+b+c+abc$

Então:

$u=frac{D_u}{D}=egin{vmatrix} a & -a & -1\ b& 1 &-b \ -c & -1 & 1 end{vmatrix}=frac{a+b+c+abc}{-(a+b+c+abc)}=-1$ , o que contraria o que foi estabelecido

$left{egin{matrix} u-av+w=a \ -u+v-bw=b \ -cu-v+w=c end{matrix} ight.$

$egin{pmatrix} 1 & -a & -1 & | & a\ -1 & 1 & -b & | & b\ -c & -1 & 1 &| & c end{pmatrix}$

$egin{pmatrix} 1 & -a & 1 & | & a\ 0 & 1-a & -b-1 & | &a+ b\ 0 & -1-ac & 1+c &| & c+ac end{pmatrix}$

Vamos dividir em casos:

♦ $a=1$ :

$-(b+1)w=(b+1)$

Note que se $b eq -1$ , $w=-1$ , o que não pode ser verdade. Então $b=1$ . Analisando agora os valores de c nesse comportamento:

$left{egin{matrix} u-v-w=1\ -u+v+w=-1 \-cu-v+w=c end{matrix} ight.$

Se $c=1$ , temos que $v=-1$ , o que não pode ser verdade.

Se $c=-1$ , temos que $w=-1$ , o que não pode ser verdade.

Logo, $c eq pm1$ .

♦ $a eq 1$ :

Nesse caso, conseguimos alguma solução, exceto pelos casos em que u, v ou w sejam iguais a -1. Esses casos são:

$a=-1$ , $b=1$ e $c=1$ .

$a=-1$ , $b=-1$ e $c=1$ .

$a=-1$ , $b=1$ e $c=-1$ .

Assim, as restrições são:

$left{egin{matrix} abc+a+b+c=0\ (a,b,c) eq (-1,1,1)\ (a,b,c) eq (1,-1,1) \ (a,b,c) eq (1,1,-1) \ (a,b,c) eq (-1,-1,1) \(a,b,c) eq (-1,1,-1) \ (a,b,c) eq (1,-1,-1) end{matrix} ight.$

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