Questão 11

IME 2011

Matemática

[IME - 2011/2012 - 1ª FASE] Considere o polinômio $5x^{3}-3x^{2}-60x+36=0$ . Sabendo que ele admite uma solução da forma , onde n é um número natural, pode se afirmar que:

1 ≤ n < 5

6 ≤ n < 10

10 ≤ n < 15

15 ≤ n < 20

20 ≤ n < 30

Gabarito:

10 ≤ n < 15

Resolução:

Do Teorema das raizes irracionais, se $sqrt{n}$ é raiz do polinômio, então $-sqrt{n}$ também é. Logo, podemos escrever:

$5x^{3}-3x^{2}-60x+36=a(x-sqrt{n})(x+sqrt{n})(x+b)$

$5x^{3}-3x^{2}-60x+36=a(x^{2}-sqrt{n})(x+b)$

$5x^{3}-3x^{2}-60x+36=ax^{3}+abx^{2}-anx-anb$

Comparando os coeficientes, temos que:

$left{egin{matrix} a=5\ -an=-60 end{matrix} ight. Rightarrow n =12$ .

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