Questão 9

IME 2011

Matemática

[IME- 2011/2012 - 2ª fase]

Considere uma reta r que passa pelo ponto P(2,3). A reta r intercepta a curva x² – 2xy – y² = 0 nos pontos A e B. Determine:

a) o lugar geométrico definido pela curva;

b) a(s) possível(is) equação(ões) da reta r, sabendo que $overline{PA} cdot overline{PB} = 17$ .

Gabarito:

Resolução:

a) Reescrevendo a cônica: $x^{2}-2xy-y^{2}= 0$

$(x-y)^{2} =(sqrt{2}y)^{2}$

Assim, existem duas possibilidades:

$x-y = sqrt{2}y Rightarrow (t_{1})y = (sqrt{2}-1)x$
$x-y = -sqrt{2}y Rightarrow (t_{2})y = (-sqrt{2}-1)x$

Portanto, o lugar descrito pela curva é composto por duas retas perpendiculares, representadas no seguinte gráfico:

b) As retas que passam por P(2,3) têm equações na forma:

$r: (y-3)= m(x-2)$

Tal que:

- Os pontos A e B pertencem às retas da cônica e à reta apresentada. Resolvendo o sistema achamos cada ponto:

$A = [frac{2m-3}{m+1+sqrt{2}}, frac{(2m-3)(-sqrt{2}-1)}{m+1+sqrt{2}}]$

$B = [frac{2m-3}{m+1-sqrt{2}}, frac{(2m-3)(sqrt{2}-1)}{m+1+sqrt{2}}]$

- Calculando PA e PB

$PA = sqrt{(frac{2m-3}{m+1+sqrt{2}}-2)^{2}+ (frac{(2m-3)(-sqrt{2}-1)}{m+1+sqrt{2}}-3)^{2}}$

Resolvendo essa equação:

$PA = (5+2sqrt{2})sqrt{frac{(m^{2}+1)}{(m+1+sqrt{2})^{2}}}$

Analogamente:

$PB = sqrt{(frac{2m-3}{m+1-sqrt{2}}-2)^{2}+ (frac{(2m-3)(sqrt{2}-1)}{m+1-sqrt{2}}-3)^{2}}$

$PB = (5-2sqrt{2})sqrt{frac{(m^{2}+1)}{(m+1-sqrt{2})^{2}}}$

Por fim:

$PA cdot PB = (5+2sqrt{2})sqrt{frac{(m^{2}+1)}{(m+1+sqrt{2})^{2}}} cdot (5-2sqrt{2})sqrt{frac{(m^{2}+1)}{(m+1-sqrt{2})^{2}}}$

$PA cdot PB = 17 sqrt{frac{(m^{2}+1)^{2}}{(m^{2}+2m-1)^{2}}}$

Como PA x PB é igual a 1:

$sqrt{(m^{2}+2m-1)^{2}} = sqrt{(1+m^{2})^{2}}$

$m^{2} +2m -1 = 1+m^{2}$ OU
$m^{2}+2m - 1 = -1 - m^{2}$

Portanto, as duas soluções das equações são m = 1 ou m = -1 ou m = 0.

Substituindo na equação da reta cuja variável era m:

Para m = 0, y = 3;
Para m = 1, y = x + 1;
Para m = -1, y = -x+5;

A equação (y-2) = m(x-3) não cobre o caso da reta perpendicular ao eixo das abscissas que passa por P, assim, é perceptível que a equação x = 2 atende às condições do enunciado:

$PA = | y_{P} - y_{A} |$

$PA = |3 - (sqrt{2}-1) cdot 2| Rightarrow PA = 5 - 2sqrt{2}$

$PB = | y_{P} - y_{B} |$

$PB= |3 - (-sqrt{2}-1) cdot 2| Rightarrow PA = 5 + 2sqrt{2}$

Por fim, fazemos o produto PA x PB:

$PA cdot PB = (5-2sqrt{2})(5+2sqrt{2}) = 17$

Assim, x = 2 também é equação possível para r.

AS equações possíveis são:

x = 2

y = 3

y = x + 1

y = -x + 5

Questão 9

IME 2011

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