Questão 1

IME 2011

Matemática

[IME- 2011/2012 - 2ª fase]

O segundo, o sétimo e o vigésimo sétimo termos de uma Progressão Aritmética (PA) de números inteiros, de razão r, formam, nesta ordem, uma Progressão Geométrica (PG), de razão q, com q e r ∈ IN* (natural diferente de zero). Determine:

a) o menor valor possível para a razão r ;

b) o valor do décimo oitavo termo da PA, para a condição do item a.

Gabarito:

Resolução:

a) Sejam $(a_{1}, a_{2}, a_{3}, cdots)$ os termos da PA em questão e sabendo que $(a_{2}, a_{7}, a_{27})$ formam uma PG, equacionamos:

$a_{7}^{2}= a_{2} cdot a_{27}$

$(a_{1}+6r)^{2} = (a_{1}+r)cdot (a_1 + 26 r)$

$a_{1}^{2}+12a_{1}r + 36r^{2} = a_{1}^{2} +27a_{1}r + 26r^{2}$

$2r^{2} = 3a_{1}r$

Segue portanto que: $2r = 3a_{1}$

Ambas as variáveis são números inteiros e r é positivo, assim os menores valores para satisfazar a expressão são:

$r = 3 e a_{1} =2$

o menor valor possível para r é 3.

b) $a_{18} = a_{1} +17r = 2 + 3 cdot 17 = 53$

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