Questão 5

IME 2011

Matemática

[IME- 2011/2012 - 2ª fase]

Uma pirâmide regular triangular apresenta um volume V. Determine o raio da circunferência circunscrita a uma das faces laterais da pirâmide em função de V, sabendo que o ângulo do vértice vale 30°.

Gabarito:

Resolução:

Seja a face formada pelo triângulo ABD:

A lei dos senos nos diz que:

$frac{I}{sen30^{circ}} = 2R$

$I = R$

Assim, o volume da pirâmide:

$V = frac{1}{3} A_{b}cdot h$

$V = frac{1}{3} frac{L^{2}sqrt{3}}{4}h$

$h = frac{12V}{R^{2}sqrt{3}}$

Pela lei dos cossenos:

$I^{2} = L^{2} + L{2} - 2L^{2}cos30^{circ}$

$R^{2} = L^{2}(2-sqrt{3})$

$L^{2} = R^{2}(2+sqrt{3})$

Tendo em vista que $AH = frac{Isqrt{3}}{3}$ :

$AH^{2} + HD^{2} = AD^{2}$

$(frac{Isqrt{3}}{3}) + h^{2} = L^{2}$

$frac{R^{2}}{3} + frac{144V^{2}}{3R^{4}} = R^{2}(2+sqrt{3})$

$R^{6}+144V^{2}=3R^{6}(2+sqrt{3})$

$R^{6}(3sqrt{3}+5) = 144V^{2}$

$R^{6} = 72V^{2}(3sqrt{3}-5)$

$R = sqrt[6]{72V^{2}(3sqrt{3}-5)}$

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