Questão 7

IME 2011

Matemática

[IME- 2011/2012 - 2ª fase]

Sejam r e s ∈Z (inteiro). Prove que (2r + 3s) é múltiplo de 17 se e somente se (9r + 5s) é múltiplo de 17.

Gabarito:

Resolução:

Por hipótese, 2r + 3s é múltiplo de 17 implica que 9r + 5s é múltiplo de 17.

2r + 3s = 17k, com k inteiro.

$26r + 39s = 17k cdot 13$

$9r + 5s + (17r + 34s) = 17k cdot 13$

$9r + 5s + 17(r+2s) = 17k cdot 13$

$9r + 5s = 17k cdot 13 - 17(r+2s)$

$9r + 5s = 17k(13 -r -2s)$

Tendo em vista que $(13 -r -2s)$ é inteiro e k também o é, concluímos que (9r + 5s) é múltiplo de 17.

Vamos provar a volta.

A hipótese da volta é que: $9r + 5s$ ser múltiplo de 17 implica que 3s é múltiplo de 17, também.

$9r + 5s = 17k$

$36r + 20s = 17k cdot 4$

$2r + 3s + (34r +17s) = 17k cdot 4$

$2r+3s = 17k (4-2r-s)$

Da mesma forma que na ida, 2r + 3s é múltiplo de 17.

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