Questão 13

IME 2011

Matemática

[IME - 2011/2012 - 1ª FASE] Seja a, b e c números reais e distintos. Ao simplificar a função real, de variável real,

obtém-se f(x) igual a:

Gabarito:

Resolução:

Vemos que a função f(x) é um polinômio do segundo grau, pois todas as suas parcelas são equações do segundo grau, logo a soma delas também será.

$egin{matrix} f(0)=? ightarrow&f(0)&=&frac{a^{2}bc}{(a-b)(a-c)}&+&frac{ab^{2}c}{(b-a)(b-c)}&+&frac{abc^{2}}{(c-a)(c-b)}\ &&&[1]&&[2]&&[3] end{matrix}$

Termos [1] + [2] = mmc dos denominadores

mmc ((a-b)(a-c);(b-a)(b-c)) = (-a-b)(a-c)(b-c);

Multiplicamos o termo [2] por -1, assim:

$frac{ab^{2}c}{(b-a)(b-c)} cdot (-1)= -frac{ab^{2}c}{(a-b)(b-c)}$ , logo o termo [1] - termo [2] fica:

$frac{a^{2}bc}{(a-b)(a-c)}-frac{ab^{2}c}{(a-b)(b-c)} Rightarrow$

$Rightarrow frac{a^{2}bc(b-c)}{(a-b)(a-c)(b-c)}-frac{ab^{2}c(a-c)}{(a-b)(a-c)(b-c)} Rightarrow$

$egin{matrix} Rightarrow& frac{a^{2}bc(b-c)-ab^{2}c(a-c)}{(a-b)(a-c)(b-c)}\ & [4] end{matrix}$

Agora temos um novo termo que devemos somar.

Termo [3] + termo [4]:

$frac{abc^{2}}{(c-a)(c-b)}+frac{a^{2}bc(b-c)-ab^{2}c(a-c)}{(a-b)(a-c)(b-c)}$

mmc ((c-a)(c-b);(a-b)(a-c)(b-c))=(a-b)(a-c)(b-c)

No termo [3], é fácil ver que (c-a)(c-b)=(a-c)(b-c), então

$frac{abc^{2}}{(c-a)(c-b)}=frac{abc^{2}}{(a-c)(b-c)}$

Daí, a soma acima fica:

$frac{abc^{2}}{(c-a)(c-b)}+frac{a^{2}bc(b-c)-ab^{2}c(a-c)}{(a-b)(a-c)(b-c)}= frac{a^{2}bc(b-c)-ab^{2}c(a-c)+abc^{2}(a-b)}{(a-b)(a-c)(b-c)}$

Perceba que no numerador temos o $a cdot b cdot c$ se repetindo. Podemos colocá-lo em evidência

$a^{2}bc(b-c)-ab^{2}c(a-c)+abc^{2}(a-b)= abc cdot (a(b-c)-b(a-c)+c(a-b))=abc cdot (ab-ac-ba+bc+ca-cb)=0$

Podemos cancelar ab com -ba; -ac com ca; e bc com -cb, ficando abc = 0

Logo, como o numerador é 0:

$frac{a^{2}bc(b-c)-ab^{2}c(a-c)+abc^{2}(a-b)}{(a-b)(a-c)(b-c)}= frac{0}{(a-b)(a-c)(b-c)}=0$

Como f(0)=0, temos que o polinômio f(x) pode ser escrito da seguinte forma: $f(x)=Acdot x^{2}+Bcdot x$ .

Na função dada pela questão, temos que $f(a)=a^{2}$ , $f(b)=b^{2}$ e $f(c)=c^{2}$ .

Ou seja, $Acdot a^{2}+Bcdot a=a^{2}$ ,

$Acdot b^{2}+Bcdot b=b^{2}$ e

$Acdot c^{2}+Bcdot c=c^{2}$

Como a, b e c são distintos, pelo menos a e b podem ser diferentes de zero, ou seja, das duas primeiras equações teremos:

$Acdot a+B=a$ e $Acdot b+B=b$

Subtraindo elas, teremos: $Acdot (a-b)=(a-b)$ . Como a e b são distintos temos que a-b é diferente de zero, logo A=1. E substituindo na equação acima, teremos que B=0.

Logo $f(x)=x^{2}$ .

Questão 13

IME 2011

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