Questão 10

IME 2012

Física

[IME- 2012/2013 - 2ª fase]

A Figura 1a apresenta um circuito composto por uma fonte de tensão alimentando um elemento desconhecido, denominado CAIXA PRETA, em paralelo com uma resistência de 0,5 $Omega$ As formas de onda da tensão fornecida pela fonte e da potência solicitada pelo circuito são apresentadas nas figuras 1b e 1c, respectivamente. Pede-se:

a) o esboço dos gráficos das correntes i_T(t), i₁(t) e i₂(t);

b) o esboço do gráfico da potência dissipada no resistor de 0,5 $Omega$

c) a energia consumida pelo circuito no intervalo de tempo entre 0 e 5 s.

Gabarito:

Resolução:

Sabemos que $P = U cdot i$ , portanto:

$P(t) = e(t) cdot i_{T} (t)$

$i_{T} (t) = frac{P(t)}{e(t)}$

A função da tensão e(t) é constante nos intervalos [0,1] e [2,3], portanto a corrente total será dada pela curva em P(t) dividida pelos valores numéricos respectivos das tensões.

No intervalo [1,2] será necessário calcular as equações dos segmentos de reta em cada curva.

$P(t) = -2t + 6$

$e(t) = -t + 3$ .

Dividindo s duas equações:

$i_{T}(t) = frac{P(t)}{e(t)}$

$i_{T}(t) = frac{2(3-t)}{-t + 3} = 2 A$

Portanto, nesse intervalo a corrente é constante e igual a 2A.

No intervalo [3,5], ambos os gráficos tem mesmo valor numérico, o que implica que a corrente é igual a 1 A nesse intervalo. Portanto, o gráfico é o seguinte:

A ddps aplicada no resistor e na caixa preta deve ser igual, uma vez que estão em paralelo.

$e(t) = 0,5 cdot i_{2} (t)$

$i_{2}(t) = 2 cdot e(t)$

Assim, multiplicando por 2 os valores no gráfico e(t) obtemos o gráfico de i₂(t):

Portanto, a corrente total será a soma das correntes:

$i_{T} (t) = i_{1}(t) + i_{2} (t)$

$i_{1} (t) = i_{T} - i_{2} (t)$

Sabemos, pela álgebra de funções, que basta subtrairmos os valores nos pontos extremos e interligar as retas:

b) A tensão sobre o resistor de 0,5 $Omega$ é dada pela função e(t), a potência será dada por:

$P = frac{U^{2}}{R} Rightarrow frac{e(t) ^{2}}{0,5}$

$P_{R} = 2 e^{2} (t)$

Nos intervalos onde e(t) é constante, a função da potÊncia dissipada também será. Entretanto, nos intervalos [1,2], [3,4] e [4,5] a função que é linear tornar-se-à uma função de segundo grau em t. O coeficiente da parábola a² será sempre positivo, isto é, com a concavidade pra cima.

P_R(t) mudará sua categoria de crescente ou decrescente conforme o módulo de (t) for crescente ou decrescente. Fazendo a análise corretamente, obter-se-à:

c) A energia consumida pelo circuito é dada pelo valor numperico da área do gráfico P(t) x t. Portanto, calculando corretamente obtemos uma energia de 7 Joules.

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