Questão 18

IME 2012

Física

[IME - 2012/2013 - 1a fase]

Um objeto puntiforme encontra-se a uma distância L de sua imagem, localizada em uma tela, como mostra a figura acima. Faz-se o objeto executar um movimento circular uniforme de raio (r << L) com centro no eixo principal e em um plano paralelo à lente. A distância focal da lente é 3L/16 e a distância entre o objeto e a lente é x. A razão entre as velocidades escalares das imagens para os possíveis valores de x para os quais se forma uma imagem na posição da tela é:

Gabarito:

Resolução:

Sabemos que $frac{1}{f} = frac{1}{p} + frac{1}{p}$

Pela figura que o enunciado trouxe p = x e p' = L-x.

Substituindo na equação de Gauss:

$frac{16}{3L} = frac{1}{x} + frac{1}{L-x}$

Tal que:

$x^{2} - Lx + frac{3L^{2}}{16} = 0$

Calculando as raízes em x:

$x_{1} = frac{1}{4} L$

$x_{2} = frac{3}{4}L$

Como o objeto está em movimento circular de raio r, sua projeção na tela realizará movimentos também circulares e uniformes de raio R. Portanto, as velocidades angulares conservar-se-ão.

$omega = frac{v}{r} = frac{V_{1}}{R_{1}} = frac{V_{2}}{R_{2}}$

Pelas equações de óptica geométrica:

$A = frac{i}{o} = frac{R}{r} = frac{f}{f-p}$

$frac{R_{1}}{R_{2}} = frac{V_{1}}{V_{2}} = frac{frac{f}{f-p_{1}}}{frac{f}{f-p_{2}}} = frac{f-p_{2}}{f- p_{1}}$

Agora basta substituir as distâncias p1 e p2 pelas raízes da equação, pois estas são, analiticamente, os únicos valores possíveis:

$frac{V_{1}}{V_{2}} = frac{(frac{3}{16}L - frac{3}{4}L)}{frac{3}{16}L - frac{1}{4} L} = 9$

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