Questão 2

IME 2012

Física

[IME- 2012/2013 - 2ª fase]

Uma partícula de carga +Q e massa m move-se dentro de um túnel estreito no plano xy, sem atrito, sujeita à força provocada pelo campo elétrico (E,0), seguindo a trajetória conforme apresentado na figura acima. Sabe-se que:

- a partícula entra no túnel com velocidade (v,0) no ponto de coordenadas (0,0); - a trajetória da partícula forçada pelo túnel é um quarto de circunferência de raio R;

- não há influência da força da gravidade.

Ao passar por um ponto genérico dentro do túnel, determine, em função da abscissa x:

a) o módulo da velocidade da partícula;

b) as componentes vx e vy do vetor velocidade da partícula;

c) o módulo da aceleração tangencial da partícula;

d) o módulo da reação normal exercida pela parede do túnel sobre a partícula;

e) o raio instantâneo da trajetória da partícula imediatamente após deixar o túnel.

Gabarito:

Resolução:

a) O trabalho da força elétrica pode ser calculado por:

$W = Q Delta U = QE cdot x$

Sendo $Delta U$ a ddp entre a origem e o ponto de coordenada igual a x.

Pelo Teorema Trabalho Energia, pode-se equacionar:

$W = Delta K$

onde K representa a energie cinética:

$QE cdot x = frac{1}{2} (m v_{F}^{2} - mv^{2})$

$v_{F} = sqrt{frac{2 cdot QEcdot x}{m} + v^{2}}$

b) Observe o diagrama:

Pela geometria, equaciona-se:

$sen heta = frac{x}{R}$

Isto posto, pela equação fundamental da trigonometria:

$cos heta = sqrt{1 - sen^{2} heta}$

$cos heta = sqrt{1 - (frac{x}{R})^{2}}$

Seguindo a decomposição dos vetores:

$oxed{v_{x} = v_{f} cdot cos heta}$

$oxed{v_{y} = v_{f} cdot sen heta}$

$v_{x} = sqrt{1 - (frac{x}{R})^{2}} cdot sqrt{2 cdot frac{QE cdot x}{m} + v^{2}}$

$v_{y} = frac{x}{R} cdot sqrt{2 cdot frac{QE cdot x}{m} + v^{2}}$

c) Imagine um ponto genérico S dentro do túnel. As forças que atuam sobre a partícula estão representadas na imagem:

Na direção tangencial à curva age apenas a componente da força elétrica atuando:

$F_{T} = F_{E} cdot cos heta$

$m cdot a_{tangencial} = QE cdot sqrt{1 - (frac{x}{R})^{2}}$

$a_{tangencial} = frac{1}{m} cdot QE cdot sqrt{1 - (frac{x}{R})^{2}}$

d) N direção radial temos a componente radial da força elétrica e a componente normal atuando como centrípeta:

$N - F_{E} cdot sen heta = frac{mv_{f}^{2}}{R}$

$N = frac{m}{R} (frac{2QE cdot x}{m} + v^{2}) + Q cdot E cdot frac{x}{R}$

$N = frac{3QEx + mv^{2}}{R}$

e) O módulo da velocidade V da partícula após deixar o túnel pode ser feito com x = R na expressão do item (a) :

$V = sqrt{frac{2Q cdot E cdot R}{m} + v^{2}}$

Ao deixar o túnel só quem atua na partícula é a força elétrica e não existe influência da gravidade.

A natureza da força elétrica será centrípeta também:

$F_{E} = F_{cp}$

$QE = frac{mV ^{2}}{R}$

$R = frac{m}{QE} cdot (sqrt{frac{2QER}{m} + v^{2}})^{2}$

$r = 2R + frac{mv^{2}}{QE}$

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