Questão 5

IME 2012

Física

[IME- 2012/2013 - 2ª fase]

A figura acima apresenta uma barra ABC apoiada sem atrito em B. Na extremidade A, um corpo de massa MA é preso por um fio. Na extremidade C existe um corpo com carga elétrica negativa Q e massa desprezível. Abaixo desse corpo se encontram três cargas elétricas positivas, Q1, Q2 e Q3, em um mesmo plano horizontal, formando um triângulo isósceles, onde o lado formado pelas cargas Q1 e Q3 é igual ao formado pelas cargas Q2 e Q3. Sabe-se, ainda, que o triângulo formado pelas cargas Q, Q1 e Q2 é equilátero de lado igual a $2frac{sqrt{3}}{3}$ m.

Determine a distância EF para que o sistema possa ficar em equilíbrio.

Dados:

• massa específica linear do segmento AB da barra: 1,0 g/cm;

• massa específica linear do segmento BC da barra: 1,5 g/cm; • segmento AB barra: 50 cm;

• segmento BC barra: 100 cm; • segmento DE: 60 cm;

• MA = 150 g;

• │Q│=│Q1│ = │Q2│ = $3^{frac{1}{4}}x10^{-6}C$ ;

• aceleração da gravidade: 10 m/s²;

• constante de Coulomb: 9 x $10^{9}$ N.m² /C².

Observação:

• As cargas Q1 e Q2 são fixas e a carga Q3, após o seu posicionamento, também permanecerá fixa.

Gabarito:

Resolução:

As forças que atuam sobre a barra são as seguintes:

A força elétrica que atua sobre C é vertical, pela lógica do diagrama de forças. Pelo equilíbrio de rotação e adotando B como referência:

$sum{M} = 0,5 cdot cdot P_{M} + 0,25 P_{AB} - 0,5 cdot P_{BC} - 1 cdot F_{E} = 0$

$0,5 cdot M_{A} cdot g + 0,25 cdot M_{AB} cdot g - 0,5 cdot M_{BC} cdot g - 1 cdot F_{E} = 0$

As massas dos segmentos AB e BC podem ser calculados pela densidade linear:

$M_{AB} = 1 cdot 50 = 50 g$

$M_{BC} = 1,5 cdot 100 = 150 g$

Portanto:

$0,5 cdot 10 cdot 0,15 + 0,25 cdot 10 cdot 0,05 - 0,5 cdot 10 cdot 0,15 - F_{E} = 0$

$F_{E} = frac{1}{8} N$

Agora é necessário analisar a geometria entre as cargas Q1, Q2 e Q3, a fim de que a força resultante sobre Q seja igual a 1/8 N. Para facilitar esse processo de planificação, vamos colocar z como eixo vertical e x o eixo n adireção da barra. Isto posto, y será perpendicular a esses dois planos, ou seja, paralelo ao segmento $overline{Q_{1} Q_{2}}$ no sentido de Q2 para Q1.

O primeiro passo é achar as distâncias CD e CE. Abaixo, temos uma figura esquematizando dois triângulos, onde CD é a altura relativa a G1 e G2. Assim, CD = 1cm. Sabendo CD, é possivel calcular a distância entre Q e o plano que contém as três outras cargas. Como o triângulo CED é pitagórico e DE = 0,6 cm, temos CE = 0,8 cm. Da figura, é possível concluir que $CF = sqrt{0,64 + x^{2}}$ por Pitágoras:

As forçs elétricas $F_{E1} e F_{E2}$ geradas pelas cargas Q1 e Q2 em Q têm ambas uma componente de igual intensidade ao longo de CD e outra no sentido de y, porém, ára que $F_{E}$ seja vertical, as componentes em y devem se anulas. Além disso, $F_{E1} = F_{E2}$ . Isto posto, a soma dessas duas forças resulta em uma força $F_{Q}$ no plano zx, de C para D: