Questão 6

IME 2012

Física

[IME- 2012/2013 - 2ª fase]

Um industrial deseja lançar no mercado uma máquina térmica que opere entre dois reservatórios térmicos cujas temperaturas são 900 K e 300 K, com rendimento térmico de 40% do máximo teoricamente admissível. Ele adquire os direitos de um engenheiro que depositou uma patente de uma máquina térmica operando em um ciclo termodinâmico composto por quatro processos descritos a seguir:

Processo 1 – 2: processo isovolumétrico com aumento de pressão: $(V_{i},p_{i}) ightarrow (V_{i},p_{f})$

Processo 2 – 3: processo isobárico com aumento de volume: $(V_{i},p_{f}) ightarrow (V_{f},p_{f})$

Processo 3 – 4: processo isovolumétrico com redução de pressão: $(V_{f},p_{f}) ightarrow (V_{f},p_{i})$

Processo 4 – 1: processo isobárico com redução de volume: $(V_{f},p_{i}) ightarrow (V_{i},p_{i})$

O engenheiro afirma que o rendimento desejado é obtido para qualquer valor de $frac{Pf}{Pi}>1$ desde que a razão entre os volumes $frac{V_{f}}{V_{i}}$ seja igual a 2. Porém, testes exaustivos do protótipo da máquina indicam que o rendimento é inferior ao desejado. Ao ser questionado sobre o assunto, o engenheiro argumenta que os testes não foram conduzidos de forma correta e mantém sua afirmação original. Supondo que a substância de trabalho que percorre o ciclo 1-2-3-4-1 seja um gás ideal monoatômico e baseado em uma análise termodinâmica do problema, verifique se o rendimento desejado pode ser atingido.

Gabarito:

Resolução:

Uma máquina térmica tem rendimento máximo de acordo com o ciclo de Carnot:

$eta =1-frac{T_F}{T_Q} = 1-frac{300}{900}=frac{2}{3}$

Como o enunciado informa que o rendimento é 40% do máximo, o rendimento desejado é então 4/15. O rendimento real é:

$eta_r = frac{ au}{Q}=frac{4}{15} (I)$

O diagrama p x V do ciclo descrito é:

Então

$au = p_f(V_f-V_0)-p_0(V_f-V_0)$

Como

$frac{V_f}{V_0}=2Rightarrow V_f=2V_0\\ au =p_fV_0-p_oV_0=V_0(p_f-p_0) (II)$

Da 1ª lei da Termodinâmica:

$Q=Delta U+ au\Q=Delta U_{1 ightarrow 3}+ au_{1 ightarrow 3}=frac{3}{2}V_0(2p_f-p_0)+p_fcdot V_0 (III)$

Substituindo (III) e (II) em (I):

$frac{ au}{Q}=frac{4}{15}\\frac{V_0(p_f-p_0)}{frac{3}{2}V_0(2p_f-p_0)+p_fcdot V_0}=frac{4}{15}\\frac{p_f-p_0}{frac{3}{2}(p_f-p_0)+p_f}=frac{4}{15}\\frac{p_f-p_0}{4p_f-frac{3}{2}p_0}=frac{4}{15}\\frac{p_f}{p_0}=-9$

O enunciado informa que a razão entre a pressão final e inicial é maior que 1. Como foi encontrado -9, conclui-se que o rendimento desejado não pode ser atingido.

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