Questão 3

IME 2012

Matemática

[IME - 2012/2013 - 1a fase]

Considere a equação $log_{3x}frac{3}{x}+(log_3 x)^2=1$ . A soma dos quadrados das soluções reais dessa equação está contida no intervalo.

$[0,5).$

$[5,10).$

$[10,15).$

$[15,20).$

$[20,+infty).$

Gabarito:

$[10,15).$

Resolução:

Primeiramente: $log_{3x}frac{3}{x}=log_{3x}3-log_{3x}x$

Vamos chamar $log_{3x}x$ de $a$ :

$log_{3x}x=aRightarrow left(3x ight )^a=xRightarrow 3^acdot x^a=xRightarrow x^{1-a}=3^aRightarrow x=3^{frac{a}{1-a}}Rightarrow\\ log_3x=frac{a}{1-a}$

Vamos chamar $log_3x=b$ . Então, como queremos $a$ :

$b=frac{a}{1-a}Rightarrow a=frac{b}{b+1}$

Agora chamando $log_{3x}3$ de $c$ :

$log_{3x}3=cRightarrow left(3x ight )^c=3Rightarrow x=3^{frac{1-c}{c}}Rightarrow log_3x=frac{1-c}{c}=bRightarrow c=frac{1}{b+1}$

Dado que $log_{3x}frac{3}{x}=log_{3x}3-log_{3x}x$ , então $log_{3x}frac{3}{x}=c-a=frac{1}{b+1}-frac{b}{b+1}=frac{1-b}{b+1}$ .

A equação $log_{3x}frac{3}{x}+left(log_3x ight )^2=1$ fica assim:

$frac{1-b}{b+1}+b^2=1Rightarrow 1-b+b^2left(b+1 ight )=b+1Rightarrow b^3+b^2-2b=0$

Então, ou $b=0$ ou

$b^2+b-2=0, ,,Delta=1^2-4cdot1cdotleft(-2 ight )=1+8=9Rightarrowsqrt{Delta}=3Rightarrow\\ Rightarrow b = frac{-1pmsqrt{Delta}}{2cdot1}=frac{-1pm3}{2}=-2,,ou,,1$ .

Dado que $log_3x=b$ , então:

$b=0$ : $x=3^0=1$

$b=-2$ : $x=3^{-2}=frac{1}{9}$

$b=1$ : $x=3^1=3$

A soma dos quadrados das soluções é:

$1^2+frac{1^2}{9^2}+3^2=1+frac{1}{81}+9=10+frac{1}{81}$ .

Observando as alternativas, o intervalo que mais condiz com o resultado acima é [10, 15)

A alternativa correta é, portanto, a Letra C.

Questão 3

IME 2012

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