Questão 8

IME 2012

Matemática

[IME - 2012/2013 - 1a fase]

Seja ∆ o determinante da matriz . O número de possíveis valores de x reais que anulam ∆ é:

Gabarito:

Resolução:

O determinante da Matriz $egin{bmatrix} 1 &2 &3 \ x &x^{2} &x^{3} \ x &x &1 end{bmatrix}$ é dado por:

$Delta = x^2 +2x^4+3x^2-3x^3-x^4-2x$

$Delta = x^4-3x^3+4x^2-2x: Rightarrow : x(x^3-3x^2+4x-2)$

Fatorando o polinômio de terceiro grau, temos:

$Delta = x.(x-1)(x^2-2x+2)$

Nota-se que o polinômio $x^2-2x+2$ não possui raízes reais. Daí para que $Delta=0$ ou $x=0$ ou $x=1$ . Dois valores reais de x reais que anulam $Delta$ .

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