Questão 13

IME 2012

Matemática

[IME - 2012/2013 - 1a fase]

Considere uma pirâmide regular de base hexagonal e altura h. Uma esfera de raio R está inscrita nesta pirâmide. O volume desta pirâmide é:

Gabarito:

Resolução:

Note que VPQ é semelhante a VTO.

PQ é apótema do hexágono regular.

Sendo x o lado do hexágono, temos que:

$PQ = frac{xsqrt{3}}{2}$

Como OP = OT = R e (VO) = h - R, calculamos a hipotenusa de VPQ, obtendo:

$(VQ)^{2} = h^{2} + frac{3}{4}x^{2}$

$(VQ)= sqrt{h^{2} + frac{3}{4}x^{2}}$

Por semelhança:

$frac{R}{frac{xsqrt{3}}{2}} = frac{h-r}{sqrt{h^{2} +frac{3}{4}x^{2}}}$

Resolvendo para x², obtemos:

$x^{2} = frac{4R^{2}h}{3(h-2R)}$

Calculando o volume da pirâmide:

$V = frac{1}{3} cdot 6 cdot frac{x^{2}sqrt{3}}{4} h$

Substituindo x²:

$V = frac{1}{3} cdot 6 cdot frac{frac{4R^{2}h}{3(h-2R)}sqrt{3}}{4} h$

$V = frac{2hsqrt{3}}{3} cdot frac{R^{2}h}{(h-2R)}$

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