Questão 8
IME 2012
[IME- 2012/2013 - 2ª fase]
São dadas duas matrizes A e B tais que e
, com x e y reais e x > y. Determine
a) o(s) valor(es) de x e y.
b) as matrizes A e B que satisfazem as equações apresentadas.
Gabarito:
Resolução:
a) e
: Vamos supor que
e
. Então:
e
.
Então temos os dois sistemas:
e
Se somarmos a eq.I com a eq.IV obtemos:
ae + bg + cf + dh = 5 + 25 = 30.
Se somarmos a eq.V com a eq.VIII obtemos:
ea + fc + gb + hd = x + y. Repare que esta expressão é exatamente igual a expressão acima. Então:
ae + bg + cf + dh = x + y = 30 => x + y = 30, eq.IX.
Agora vamos multiplicar a eq.I com a eq.IV e subtrair o resultado desta multiplicação pelo resultado da multiplicação da eq.II pela eq.III:
aecf + aedh + bgcf + bgdh - (afdg + bhdg + afce + bhce) = aecf + aedh + bgcf + bgdh - afdg - bhdg - afce - bhce = 5.25 - 11.11 = 125 - 121 = 4.
Agora vamos multiplicar a eq.V com a eq.VIII e subtrair o resultado desta multiplicação pelo resultado da multiplicação da eq.VI pela eq.VII:
eahd + eagb + fcgb + fchd - (ebhc + ebga + fdhc + fdga) = eahd + eagb + fcgb + fchd - ebhc - ebga - fdhc - fdga = x.y - 14.14 = xy - 196.
Repare que a expressão acima é igual a expressão logo acima desta. Então fazemos:
xy - 196 = 4 => xy = 200, eq.X. Agora possuímos duas equações e duas incógnitas:
Da eq.IX, y = 30 - x. Da eq.X:
x.(30 - x) = 200 => x2 - 30x + 200 = 0, Bháskara:
Então temos que ou x = 20 e y = 10 ou x = 10 e y = 20. Como x > y, então x = 20 e y = 10.
b) Este item é o mais trabalhoso. Sem o conhecimento prévio de determinantes, a sua resolução fica mais complicada, porém fazível. Foi o intuito da solução seguinte. Obtemos todas as variáveis em função de a e b. Depois, pelas equações eq.II e eq.IV descobrimos os valores de a e b. Veja o desenvolvimento a seguir. Os sistemas acima ficam conforme o seguinte:
e
Na eq.VIII:
Na eq.VII:
, da eq.XI:
Na eq.V:
, da eq.XII:
Na eq.VI:
, da eq.XIII:
Na eq.III:
, das eq.XII e eq.XIV, temos:
Na eq.I:
, da eq.XIV:
Agora que já temos g em função de a e b, vamos descobrir d em função de a e b pela eq.XV:
Agora que temos o valor de d e g em função de a e b em mãos, podemos descobrir agora as variáveis h, c, f, e em função de a e b.
Após isto, só precisamos substituir os valores de c, f, d, h em função de a e b e descobrirmos o valor de a e b, pois sobrariam duas incógnitas para duas variáveis.
O desenvolvimento deste final fica à posteriori.
RESPOSTA:
a) y = 10 e x = 20
b) e