Questão 2

IME 2012

Matemática

[IME- 2012/2013 - 2ª fase]

Considere a, b e c números inteiros e 2 < $a$ < $b$ < $c$ .

Determine o(s) valor(es) de $x$ , $y$ e $z$ , que satisfaçam o sistema de equações $left{egin{matrix} ax-2by+3cz=2abc\ 3ax-4by=-abc\ -by+cz=0\ xyz=2013^2 end{matrix} ight.$ .

Gabarito:

Resolução:

Da 3° equação, concluimos que:

$cz = by$

Substituindo na primeira equação, segue:

$ax-2by+3by = 2abc Rightarrow ax+by = 2abc$

Substituindo a 2° equação nesta última agora teremos que:

$ax+by = 2cdot underbrace{(-3ax+4by)}_{{color{Red} 3ax-4by = -abc}}$

$herefore 7ax = 7by Rightarrow ax = by = cz$

De volta na 1° equação, temos:

$ax + by = 2abc Rightarrow ax = by = cz = abc$

Logo:

$left{egin{matrix} x = bc\ y = ac\ z = ab end{matrix} ight.$

$herefore xyz = (abc)^2 = 2013^2 Rightarrow abc = 2013$

Como a, b e c são intiros com $2 < a < b < c$ , podemos escrever que:

$abc = 2013 = 3cdot 11 cdot 61$

Portanto, oncluimos que:

$left{egin{matrix} a=3\ b=11\ c=61 end{matrix} ight.$

E, por fim,

$left{egin{matrix} x=671\ y=183\ z=33 end{matrix} ight.$

RESPOSTA: x = 671, y = 183 e z = 33.

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