Questão 1

IME 2012

Matemática

[IME- 2012/2013 - 2ª fase]

Considere $log_{sqrt{b}}(a)^{2}=4$ , com a e b números reais positivos. Determine o valor de m, número real, para que a equação $x^{3}-18x^{2}+[log_{b}(ab)^{m}+8-m]x-log_{b}(a)^{2m}=0$ tenha três raízes reais em progressão aritmética.

Gabarito:

Resolução:

$log_{sqrt{b}}(a)^{2} = 4$

$(sqrt{b})^{4} = a^{2}$

$b^{2} = a^{2}$

$b = pm a$

Porém, - a não serve como resultado devido à restrição da raiz quadrada.

Escrevemos que:

$log_{b}(a cdot b)^{m} = m log_{b}(b^{2}) = 2m$
$log_{b}(a)^{2m} = 2m cdot log_{b}(b) = 2m$

$x^{3} + (m+8)x - 2m = 0$

As raízes estão em PA numa razão q, portanto:

$(A - q, A, A + q)$

Aplicando Girard:

$(A-q) + A + (A+q) = -frac{-18}{1} = 18$
$A(A-q) + A(A+q)+ (A-q)(A+q) = frac{m+8}{1} = m+8$
$(A-q)A(A+q) = -frac{-2m}{1} = 2m$

Reescrevendo:

$3A = 18$
$3A^{2}-q^{2} = m+8$
$A(A^{2}-q^{2}) = 2m$

De 1 obtemos que A = 6. Logo:

$q^{2} = 100 - m$
$36 - q^{2} = frac{m}{3}$

Substituindo q², obtemos:

$36 -(100-m) = frac{m}{3} ightarrow m= 96$

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