Questão 4

IME 2012

Matemática

[IME- 2012/2013 - 2ª fase]

Considere $P=prod_{k=0}^{45}[1+tg(frac{kpi }{180})]$ , com $prod_{k=0}^{n}$ representando o produto dos termos desde k = 0 até k = n, sendo k e n números inteiros. Determine o(s) valor(es) de m, número real, que satisfaça(m) a equação $P = 2^{m}$ .

Gabarito:

Resolução:

Das relações trigonométricas:

$tg a + tg b = frac{sen(a+b)}{cosa cdot cosb}$

Portanto:

$1 + tg(frac{kpi}{180}) = tg(frac{pi}{4}) + tg(frac{kpi}{180}) = frac{sen(frac{pi}{4} + frac{kpi}{180})}{cos(frac{pi}{4})cdot cos(frac{kpi}{180})}$

$frac{sen(frac{pi}{4} + frac{kpi}{180})}{cos(frac{pi}{4})cdot cos(frac{kpi}{180})} = frac{sen(frac{45pi +kpi}{180})}{frac{sqrt{2}}{2}sen(frac{pi}{2})-frac{kpi}{180}}$

$= sqrt{2} frac{sen[frac{(45+k)pi}{180}]}{sen[frac{(90-k)pi}{180}]}$

O produtório que devemos analisar é:

$P = prod_{k=0}^{45} [sqrt{2} frac{sen[frac{(45+k)pi}{180}]}{sen[frac{(90-k)pi}{180}]}]$

$sqrt{2} frac{sen[frac{(45)pi}{180}]}{sen[frac{(90)pi}{180}]} cdot sqrt{2} frac{sen[frac{(46)pi}{180}]}{sen[frac{(89)pi}{180}]} cdot sqrt{2} frac{sen[frac{(47)pi}{180}]}{sen[frac{(87)pi}{180}]} imescdots imes sqrt{2} frac{sen[frac{(90)pi}{180}]}{sen[frac{(45)pi}{180}]}$

É notável que o numerador da primeira fração é o denominador da última, assim como o numerador da segunda fração é denominador da penúltima e assim por diante. Dessa forma, teremos uma simplificação sequencial, pois o denominador da primeira fração é o numerador da última e assim por diante...

No final, todos os senos se cancelam e obtemos 46 fatores $sqrt{2}$

$P = (sqrt{2})^{46} = 2^{23} Rightarrow m = 23$

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