Questão 5

IME 2012

Matemática

[IME- 2012/2013 - 2ª fase]

Considere, Z1 e Z2, complexos que satisfazem a equação x² + px + q = 0, onde p e q são números reais diferentes de zero. Sabe-se que os módulos de Z1 e Z2 são iguais e que a diferença entre os seus argumentos vale α, onde α é diferente de zero. Determine o valor de $cos^{2}(frac{alpha}{2})$ em função de p e q.

Gabarito:

Resolução:

Os coeficientes do polinômio em questão são todos reais, portanto pelo teorema do conjugado, Z₁é raiz da equação se e somente se $overline{Z}_{1}$ for raiz também. Desse modo:

$Z_{2} = overline{Z}_{1}$

Como os números complexos tem o mesmo argumento, vamos denotá-los:

$Z_{1} = ho (cos heta + i sen heta)$
$Z_{2} = ho (cos(- heta) + i sen(- heta)) = p(cos heta - isen heta)$

O comando da questão informa que a diferença entre os argumentos desses complexos é $alpha$ :

$alpha = heta - (- heta) = 2 heta$

$heta = frac{alpha}{2}$

Podemos reescrever Z₁e Z₂como:

$Z_{1} = ho [cos(frac{alpha}{2})+isen(frac{alpha}{2})]$
$Z_{2} = ho [(cos(frac{alpha}{2})) - isen(frac{alpha}{2})]$

Usando relação de soma e produto:

$Z_{1} + Z_{2} = - p$
$Z_{1}Z_{2} = q$

$left{egin{matrix} ho[cos(frac{alpha}{2}) + isen(frac{alpha}{2})] &+ ho[cos(frac{alpha}{2})-isen(frac{alpha}{2})] &=-p \ ho[cos(frac{alpha}{2}) + isen(frac{alpha}{2})]& cdot ho[cos(frac{alpha}{2})-isen(frac{alpha}{2})] & = q end{matrix} ight.$

Resolvendo o sistema, obtemos:

$cos(frac{alpha}{2}) = -frac{p}{2 ho}$
$ho^{2} = q$

Assim:

$cos^{2}(frac{alpha}{2}) = (-frac{p}{2 ho})^{2} = frac{p^{2}}{4 ho^{2}}$

$oxed{cos^{2}(frac{alpha}{2}) = frac{p^{2}}{4q}}$

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