Questão 6

IME 2012

Matemática

[IME- 2012/2013 - 2ª fase]

Considere um triângulo ABC com lado BC igual a L. São dados um ponto D sobre o lado AB e um ponto E sobre o lado AC, de modo que sejam válidas as relações $frac{DA}{DB}=frac{EC}{EA}$ , com m > 1. Pelo ponto médio do segmento DE, denominado M, traça-se uma reta paralela ao lado BC, interceptando o lado AB no ponto F e o lado AC no ponto H. Calcule o comprimento do segmento MH, em função de m e L.

Gabarito:

Resolução:

BG é paralela a DE, notamos que BGH é semelhante a EMH.

$frac{MH}{BC} = frac{EM}{BG}$

$frac{MH}{L} = frac{EM}{BG}$

$BG = frac{Lcdot (EM)}{MH} (I)$

ADE é semelhante a ABG, assim:

$frac{DE}{BG} = frac{DA}{AB}$

$frac{2(EM)}{BG} = frac{DA}{DA + DB}$

$BG = frac{2(EM)cdot ((DA)+(DB))}{DA}$

$BG = 2(EM) cdot frac{[m cdot (DB+DB)]}{m(DB)}$

$BG = 2(EM) cdot frac{(m+1)}{m} (II)$

Substituindo I em II:

$frac{L(EM)}{MH} = 2(EM) cdot frac{(m+1)}{m}$

$MH = frac{mL}{2(m+1)}$

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