Questão 1

IME 2013

Matemática

[IME - 2013/2014 - 1a fase] Qual é o menor número?

$pi 8!$

Gabarito:

Resolução:

Devemos testar as alternativas entre si:

Começando pelos faceis de se notar:

$2^{2^ {{2} ^{2}}}$ e $3^{3^3}$

$2^{16} < 3^{27}$

Assim, testamos o menor com outro número.

$2^{16}$ e $9^9$

$2^{16}<3^{18}$

Seguimos com o menor.

$2^{16}$ e $2^{13} cdot 5^3$

$2^{13} cdot 2^{3} < 2^{13} cdot 5^{3}$

Resta testar apenas um número:

$2^{16}$ e $pi cdot 8!$

$8! = 2^7 cdot 3^2 cdot 5 cdot 7$

$2^7 cdot 2^3 cdot 2^5 cdot 2 < 2^7 cdot 3^2 cdot 35 cdot pi$

Analisando componente por componente:

$2^7 = 2^7$

$2^3 < 3^2$

$2^5 < 35$

$2 < pi$

Logo a inequação está correta, e

$2^{2^{2^{{2}}}}$ é o menor número.

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