Questão 6

IME 2013

Matemática

[IME - 2013/2014 - 1a fase] Em um quadrilátero ABCD, os ângulos e são retos. Considere que e sejam as raízes da equação , onde $ext{b, c} in mathbb{R}$ . Qual a verdadeira relação satisfeita por b e c ?

$b^2+2c^2=1$

$b^4+2c^2=b^2c$

$b^2+2c=1$

$b^2-2c^2=1$

$b^2-2c=1$

Gabarito:

$b^2-2c=1$

Resolução:

Como os ângulos ABC e CDA são ângulos retos, podemos inscrever o quadrilátero em uma circunferência, sendo o segmento AC o diâmetro da mesma. Dessa forma, temos a seguinte figura:

Seja x a medida do ângulo BCA e y a medida do ângulo BDC. Como BAC e BDC são ângulos inscritos com o mesmo arco BC, então eles possuem a mesma medida. Dessa forma, temos:

Com isso, temos que:

$x + y = 90 Rightarrow sen(x) = cos(y)$

Como sen(x) e sen(y) são as raízes da equação $x^2+bx+c = 0$ , utilizando as relações de soma e produto de uma equação de segundo grau, conseguimos montar o seguinte sistema:

$egin{cases} sen(x) + sen(y) = -b \ sen(x) cdot sen(y) = c end{cases}$

Elevando a primeira equação ao quadrado e fazendo substituições, teremos:

$(sen(x) + sen(y))^2 = (-b)^2$

$sen^2(x) + 2sen(x)sen(y) + sen^2(y) = b^2$

$cos^2(y) + 2c + sen^2(y) = b^2$

$2c + 1 = b^2$

$b^2 - 2c = 1$

Portanto, a alternativa correta é a letra E.

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