Questão 8

IME 2013

Matemática

[IME - 2013/2014 - 1a fase] Seja SABCD uma pirâmide, cuja base é um quadrilátero convexo ABCD. A aresta SD é a altura da pirâmide. Sabe-se que =2 . O volume da pirâmide é

√5

√7

√11

√13

√17

Gabarito: √7

Resolução:

Os triângulos ADC e ABC são isósceles, e a base desses triângulos mede AC. Assim, BD intercepta AC no ponto médio de AC.

Aplicando Pitágoras em AMD e AMB montamos um sistema com h e h₁:

$(sqrt{2})^{2} = 1^{2} + h ^{2} Rightarrow h = 1$

$(sqrt{5})^{2} = 1^{2} + h_{1}^{2} Rightarrow h_{1} = 2$

Assim, a área da base de ABCD é a soma dessas duas áreas. Tal que:

$A_{B} = frac{2 cdot 1}{2} + frac{2cdot 2}{2} = 3$

Para encontrar a altura H da pirâmide SABCD analisamos os triângulos ADC e BDS (os quais são retângulos):

Por Pitágoras, montamos outro sistema:

$(SB)^{2} = H^{2} + 3^{2}$

$(SA)^{2} = H^{2} + (sqrt{2})^{2}$

Subtraindo as duas equações:

$(SB)^{2} - (SA)^{2} = 7 Rightarrow (SB-SA) cdot (SA + SB) = 7$

Sabemos que SA + SB =7

$(SB-SA) cdot 7 = 7$

$SB - SA = 1$

Assim:

$left{egin{matrix} SB& + SA & = 7 \ SB & - SA & = 1 end{matrix} ight.$

Obtemos SB = 4 e SA = 3.

Retornando a equação:

$(SB)^{2} = H^{2} + 9$ obtemos que $H = sqrt{7}$

Por fim, o volume da pirâmide:

$V = frac{1}{3} cdot 3 cdot sqrt{7} = oxed {sqrt{7}}$

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