Questão 11

IME 2013

Matemática

[IME - 2013/2014 - 1a fase] Para o número complexo z que descreve o lugar geométrico representado pela desigualdade $|z - 26i| leq10$ , sejam e os valores máximo e mínimo de seu argumento. O valor de é

Gabarito:

Resolução:

O conjunto de pontos representados por:

$|z-26i| leq 10$

é um círculo cujo centro é dado pelas coordenadas C(0,26). Sabendo que um complexo pode ser representado por z = a + bi, temos que:

$|z-26i| leq 10$

$sqrt{a^{2} + (b-26)^{2}} leq 10$

$a^{2} + (b-26)^{2} leq 10^{2}$

A figura abaixo representa o círculo dessa equação:

Note que os números complexos dentro dessa região e que possuem menor e maior argumentos são aqueles que também estão sobre as retas tangentes À circunferência que passam pela origem. Os pontos de tangência foram designados com a letra T:

Se OC = 26, então OT₁= 24, o triângulo (10, 24, 26), deste modo,

$tan(alpha) = frac{5}{12}$

$alpha = arctan(frac{5}{12})$

$heta _{1} = frac{pi}{2} - alpha$ e $heta _{2} = frac{pi}{2} + alpha$

$| heta _{1} - heta_{2}| = |frac{pi}{2} - alpha - (frac{pi}{2} + alpha)| = 2alpha$

$| heta _{1} - heta_{2}| = 2 alpha$

$| heta _{1} - heta_{2}| = 2arctan(frac{5}{12})$

$2arctan(frac{5}{12}) = 2tan^{-1} (frac{5}{12})$

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