Questão 8

IME 2013

Matemática

[IME- 2013/2014 - 2ª fase]

Um professor dá um teste surpresa para uma turma de 9 alunos e diz que o teste pode ser feito sozinho ou em grupos de 2 alunos. De quantas formas a turma pode se organizar para fazer o teste?

(Por exemplo, uma turma de 3 alunos pode se organizar de 4 formas e uma turma de 4 alunos pode se organizar de 10 formas)

Gabarito:

Resolução:

Temos 5 possíveis casos para analisar:

(I) Quatro duplas e um aluno faz sozinho

(II) Três duplas e o restante faz individualmente

(III) Duas duplas e o restante faz individualmente

(IV) Uma dupla e o restante faz individualmente

(V) Não existem duplas.

$C_{9, 0} = 1$

$C_{9, 2} = 36$

III

$frac{C_{9,2} cdot C_{7,2}}{2!} = 378$

$frac{C_{9,2} cdot C_{7,2} cdot C_{5,2}}{3!} = 1260$

$frac{C_{9,2} cdot C_{7,2} cdot C_{5,2} cdot C_{3,2}}{4!} = 945$

Como os casos são independentes, podemos somar todas as possibilidades.

1 + 36 + 378 + 1260 + 945 = 2620

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