Questão 33115

IME 2013

Matemática

[IME- 2012/2013 - Adaptada] Considere um triângulo ABC com lado BC igual a L. São dados um ponto D sobre o lado AB e um ponto E sobre o lado AC, de modo que sejam válidas as relações DA/DB = EC/EA = m, com m > 1. Pelo ponto médio do segmento DE, denominado M, traça-se uma reta paralela ao lado BC, interceptando o lado AB no ponto F e o lado AC no ponto H. Calcule o comprimento do segmento MH, em função de m e L.

$MH = frac{mL}{m+1}$

$MH = frac{mL}{2left(m+1 ight )}$

$MH = frac{L}{frac{m}{L}+1}$

$MH = frac{3mL}{2m+1}$

$MH = frac{m^{3}}{Lm+1}$

Gabarito:

$MH = frac{mL}{2left(m+1 ight )}$

Resolução:

A figura a seguir vem da observância das características expostas no enunciado:

Denominou-se os segmentos acima conforme as letras o, c, m.c, d, m.d, g, z, y e x para que fiquem mais fáceis os cálculos.

RELEMBRANDO: MENELAUS

=> $frac{MA}{MB}cdotfrac{NB}{NC}cdotfrac{LC}{LA}=1$

Considere, primeiramente, o triângulo AFH (da primeira figura) com a reta DE (similar a reta r da figura logo acima) atravessando o lado FH. Podemos aplicar Menelaus:

$frac{MH}{MF}cdotfrac{FD}{AD}cdotfrac{EA}{EH}=1Rightarrow frac{x}{y}cdotfrac{o}{mcdot c}cdotfrac{d}{g}=1$ eq.I

Considere agora o triângulo ADE (da primeira figura) com a reta FH (similar a reta r da figura logo acima) atravessando o lado DE. Podemos aplicar Menelaus:

$frac{MD}{ME}cdotfrac{EH}{AH}cdotfrac{FA}{FD}=1Rightarrow 1cdotfrac{g}{d+g}cdotfrac{mcdot c - o}{o}=1Rightarrow frac{g}{d+g}cdotfrac{mcdot c - o}{o}=1$ eq.II

Considere agora o triângulo ABC (da primeira figura) com a reta NE (similar a reta r da figura logo acima) atravessando o lado AC. Podemos aplicar Menelaus:

$frac{DA}{DB}cdotfrac{NB}{NC}cdotfrac{EC}{EA}=1Rightarrow mcdotfrac{z}{z+L}cdot m=1Rightarrow frac{z}{z+L}=frac{1}{m^2}Rightarrow z = frac{L}{m^2-1}Rightarrow z+L = frac{Lcdot m^2}{m^2-1}$ eq. III

Repare também que os triângulos NEC e MEH são semelhantes (lados NC e MH paralelos, ângulos opostos pelo vértice e lados na mesma reta NE). Então podemos fazer:

$frac{MH}{EH}=frac{NC}{EC}Rightarrow frac{x}{g}=frac{z+L}{mcdot d}Rightarrow frac{z+L}{x}=mcdotfrac{d}{g}Rightarrow frac{d}{g}=frac{1}{m}cdotfrac{frac{Lcdot m^2}{m^2-1}}{x}Rightarrow \\frac{d}{g}=frac{1}{x}cdotfrac{Lcdot m}{m^2-1}$ .
A partir de agora, nós vamos chamar $frac{Lcdot m}{m^2-1}$ de $k$ . Daí:
$frac{d}{g}=frac{k}{x}$ , eq.IV

Observemos a eq.I:

$frac{x}{y}cdotfrac{o}{mcdot c}cdotfrac{d}{g}=1$ , da eq.IV, $frac{d}{g}=frac{k}{x}$ : $frac{x}{y}cdotfrac{o}{mcdot c}cdotfrac{k}{x}=1Rightarrow frac{k}{y}cdot frac{1}{m}cdotfrac{o}{c}=1Rightarrow frac{c}{o}=frac{1}{y}cdot frac{k}{m}$ eq.V.

Observemos, agora, a eq. II:

$frac{g}{d+g}cdotfrac{mcdot c - o}{o}=1Rightarrowleft(frac{1}{frac{d}{g}+1} ight )cdotleft(mcdotfrac{c}{o} -1 ight )=1$
Porém, da eq.V, temos:
$left(frac{1}{frac{d}{g}+1} ight )cdotleft(mcdotfrac{c}{o} -1 ight )=1Rightarrow left(frac{1}{frac{k}{x}+1} ight )cdotleft(mcdotfrac{1}{y}cdotfrac{k}{m}-1 ight )=left(frac{x}{k+x} ight )cdotleft(frac{k}{y}-1 ight )=1Rightarrow frac{k}{y}-1=frac{k+x}{x}Rightarrow frac{k}{y}=frac{k+2x}{x}Rightarrow y=frac{kcdot x}{k+2x}$ . Daí:
$x+y=x+frac{kcdot x}{k+2x}=xleft(1+frac{k}{k+2x} ight )Rightarrow x+y=2xcdotleft(frac{k+x}{k+2x} ight )$ eq.VI.

A clara semelhança entre os triângulos AFH e ABC nos permite escrever:

$frac{FH}{BC}=frac{AH}{AC}Rightarrow frac{x + y}{L}=frac{g + d}{dcdotleft(m+1 ight )}Rightarrow frac{x + y}{L}=frac{1}{m+1}cdotleft(frac{g}{d}+ 1 ight )$ , porém, da eq.IV, $frac{d}{g}=frac{k}{x}$ , daí:

$frac{x + y}{L}=frac{1}{m+1}cdotleft(frac{g}{d}+ 1 ight )=frac{1}{m+1}cdotleft(frac{x}{k}+ 1 ight )$ , eq.VII.

Das eq.VI e eq.VII, temos:

$frac{1}{L}cdotfrac{2xleft(k+x ight )}{k+2x}=frac{1}{m+1}cdotfrac{x+k}{k}$ , os termos x + k dos numeradores dos dois lados se cancelam. Daí:

$frac{1}{L}cdotfrac{2x}{k+2x}=frac{1}{m+1}cdotfrac{1}{k}Rightarrow frac{2x}{k+2x}=frac{L}{m+1}cdotfrac{1}{k}$ .

Agora vamos chamar o termo $frac{L}{m+1}cdotfrac{1}{k}$ de $lambda$ :

$frac{2x}{k+2x}=lambdaRightarrow 2x = klambda+2xcdotlambdaRightarrow 2xleft(1-lambda ight )=klambdaRightarrow x=frac{klambda}{2cdotleft(1-lambda ight )}$ .

Quem é $frac{lambda}{1-lambda}$ ?

$frac{lambda}{1-lambda}=lambdacdotfrac{1}{1-lambda}=frac{L}{m+1}cdotfrac{1}{k}cdotfrac{1}{1-frac{L}{m+1}cdotfrac{1}{k}}$ , sendo $k=frac{Lcdot m}{m^2-1}$ :

$frac{lambda}{1-lambda}=frac{L}{m+1}cdotfrac{1}{k}cdotfrac{1}{1-frac{L}{m+1}cdotfrac{1}{k}}=frac{L}{m+1}cdotfrac{m^2-1}{Lcdot m}cdotfrac{1}{1-frac{L}{m+1}cdotfrac{m^2-1}{Lcdot m}}$ , porém $m^2-1=left(m+1 ight)left(m-1 ight )$ :

$frac{lambda}{1-lambda}=frac{L}{m+1}cdotfrac{m^2-1}{Lcdot m}cdotfrac{1}{1-frac{L}{m+1}cdotfrac{m^2-1}{Lcdot m}}=frac{ left(m-1 ight )}{m}cdot frac{1}{1-frac{m-1}{m}}=frac{m-1}{m}cdot mRightarrow frac{lambda}{1-lambda}=m-1$

Portanto:

$x=frac{klambda}{2cdotleft(1-lambda ight )}Rightarrow x=frac{k}{2}cdotfrac{lambda}{1-lambda}=frac{1}{2}cdotfrac{Lcdot m}{m^2-1}cdotleft(m-1 ight )Rightarrow\\ x=frac{Lcdot m}{2cdotleft(m+1 ight )left(m-1 ight )}cdotleft(m-1 ight )Rightarrow x=frac{Lcdot m}{2left(m+1 ight )}$

Como x = MH, então:

$MH=frac{mL}{2left(m+1 ight )}$ .

A alternativa correta é, portanto, a Letra B.

Questão 33115

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