Questão 1

IME 2013

Matemática

[IME- 2013/2014 - 2ª fase]

O polinômio P(x) = x⁵ - 3x⁴+10x³ - 30x² + 81x - 243 possui raízes complexas simétricas e uma raiz com valor igual ao módulo das raízes complexas. Determine todas as raízes do polinômio.

Gabarito:

Resolução:

O polinômio dado é:

$x^5 - 3x^4 + 10x^3 - 30x^2 + 81x -243$

Colocando os fatores em evidência em pares:

$(x^4)(x-3) + 10x^2(x-3) + 81(x-3)$

$(x-3) (x^4+ 10x^2+ 81)$

Assim, as raizes do polinômio são de forma:

$(x-3) (x^4+ 10x^2+ 81)=0$

Assim, $x=3$ é uma raiz, resta conferir $(x^4+ 10x^2+ 81)=0$ .

Realizando a validade $x^2=y$

$y^2+10y + 81=0$

Logo, as raizes de $y$ são:

$y_1=frac{-10+sqrt{-224}}{2}=frac{-10+4isqrt{14}}{2}=-5+2isqrt{14}$

$y_2=frac{-10-sqrt{-224}}{2}=frac{-10-4isqrt{14}}{2}=-5-2isqrt{14}$

$x^2=-5pm 2isqrt{14}$

$x=pm sqrt{-5pm 2isqrt{14}}$

Logo, as soluções da equação são:

$(3, pm sqrt{-5pm 2isqrt{14}})$

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