Questão 3

IME 2013

Matemática

[IME - 2013/2014 - 1a fase]

Sejam $W=left { y: epsilon: mathbb{R}| : : 2k+1leq yleq 3k-5 ight }$ e $S=left { y: epsilon : mathbb{R}: |: 3leq yleq 22 ight }$ . Qual é o conjunto dos valores de $k: epsilon : mathbb{R}$ para o qual $W eq varnothing$ e $W subseteq (W cap S)$ ?

$left { 1leq kleq 9 ight }$

$left { kleq 9 ight }$

$left { 6leq kleq 9 ight }$

$left { kleq 6 ight }$

$varnothing$

Gabarito:

$left { 6leq kleq 9 ight }$

Resolução:

Como $W subseteq W cap S$ , sabemos que W só existe nos valores possíveis para Y. Sendo assim, se $2k + 1 leq y leq 3k -5$ , por transitividade temos:

$2k + 1 leq 3k -5$

$1+5 leq 3k -2k$

$k geq 6$

Sabemos então que o valor de 3 deve ser maior ou igual a 6. Testando nos limites inferior e superior do intervalo:

Se y = 3:

$2k+1 leq 3$

$2k leq 2$

$k leq 1$

O que não está no limite estabelecido.

Se y = 22

$22 leq 3k-5$

$22+5 leq 3k$

$27 leq 3k$

$k geq 9$

O que respeita a condição, e vemos que para qualquer valor de k > 9, y será maior do que 22.

Desta forma, o intervalo possível para K é [6, 9]

Alternativa C.

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